Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu o środku S i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rysunek). Wówczas miara kąta ostrego α między cięciwą AB i styczną do tego okręgu w punkcie A jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.α=18°
- B.α=30°
- C.α=36°
- D.α=54°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Rozwiązuje się krok po kroku.
Krok 1: Analiza podziału okręgu
Punkty A, B, C, D, E dzielą okrąg na 5 równych łuków. Pełny kąt wynosi 360°, więc każdy łuk odpowiada kątowi środkowemu:
360°/5 = 72°
Krok 2: Kąt środkowy dla łuku AB
Kąt środkowy ∠ASB oparty na łuku AB wynosi:
∠ASB = 72°
Krok 3: Zastosowanie twierdzenia o kącie między cięciwą a styczną
Kąt między cięciwą AB a styczną w punkcie A jest równy połowie kąta środkowego opartego na łuku AB, który leży po tej samej stronie co styczna.
Alternatywnie, korzystamy z faktu, że: - Styczna w punkcie A jest prostopadła do promienia SA - Trójkąt SAB jest równoramienny (bo SA = SB jako promienie)
Krok 4: Obliczenie kąta α
W trójkącie równoramiennym SAB: - Kąt przy wierzchołku S: ∠ASB = 72° - Kąty przy podstawie są równe: ∠SAB = ∠SBA
Suma kątów w trójkącie:
∠SAB + ∠SBA + 72° = 180°
2∠SAB = 108°
∠SAB = 54°
Krok 5: Znalezienie kąta α
Styczna w punkcie A jest prostopadła do promienia SA, więc kąt między styczną a promieniem SA wynosi 90°.
Kąt α między styczną a cięciwą AB to:
α= 90° - ∠SAB = 90° - 54° = 36°
Odpowiedź: C
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.