Wykaż, że jeżeli ramiona AD i BC trapezu ABCD o podstawach AB i CD zawierają się w prostych prostopadłych (zobacz rysunek), to |AB|² + |CD|² = |AC|² + |BD|².
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEOznaczmy długości podstaw: |AB| = a , |CD| = c , oraz długości ramion: |AD| = d₁ , |BC| = d₂ .
Krok 1: Wprowadzenie układu współrzędnych
Ponieważ ramiona AD i BC są prostopadłe, umieśćmy trapez w układzie współrzędnych tak, aby: - prosta zawierająca ramię AD pokrywała się z osią Oy - prosta zawierająca ramię BC pokrywała się z osią Ox
Punkt przecięcia tych prostych oznaczmy jako początek układu: O = (0, 0) .
Krok 2: Określenie współrzędnych wierzchołków
Niech: - D = (0, y_D) dla pewnego y_D > 0 - A = (0, y_A) dla pewnego y_A < y_D - C = (x_C, 0) dla pewnego x_C > 0 - B = (x_B, 0) dla pewnego x_B > x_C
Krok 3: Warunek równoległości podstaw
Ponieważ AB ∥ CD , wektory AB i CD muszą być równoległe.
AB = (x_B, -y_A), CD = (x_C, -y_D)
Z warunku równoległości: x_B/x_C = y_A/y_D = k
gdzie k > 0 jest pewnym współczynnikiem.
Krok 4: Obliczenie kwadratów długości
|AB|² = x_B² + y_A² |CD|² = x_C² + y_D² |AC|² = (x_C - 0)² + (0 - y_A)² = x_C² + y_A² |BD|² = (0 - x_B)² + (y_D - 0)² = x_B² + y_D²
Krok 5: Sprawdzenie równości
Lewa strona: |AB|² + |CD|² = x_B² + y_A² + x_C² + y_D²
Prawa strona: |AC|² + |BD|² = x_C² + y_A² + x_B² + y_D²
Krok 6: Wniosek
Porównując obie strony: x_B² + y_A² + x_C² + y_D² = x_C² + y_A² + x_B² + y_D²
Równość jest spełniona na mocy przemienności dodawania.
|AB|² + |CD|² = |AC|² + |BD|²
Co należało wykazać. □
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.