Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu 8 cm. Oblicz wysokość tego stożka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: h=2√(15)
## Dane z zadania
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu to ćwiartka koła o promieniu 8 cm.
## Krok 1: Identyfikacja parametrów rozwinięcia
Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka na płaszczyznę: - Promień ćwiartki koła = tworząca stożka = l = 8 cm - Łuk ćwiartki koła = obwód podstawy stożka
## Krok 2: Obliczenie długości łuku ćwiartki
Ćwiartka koła o promieniu 8 cm ma łuk stanowiący 1/4 obwodu pełnego koła:
Długość łuku = 1/4 · 2π · 8 = 16π/4 = 4π cm
## Krok 3: Wyznaczenie promienia podstawy stożka
Łuk rozwinięcia równa się obwodowi podstawy stożka:
2πr = 4π
r = 4π/(2π) = 2 cm
## Krok 4: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
W stożku zachodzi relacja między wysokością h, promieniem podstawy r i tworzącą l:
l² = h² + r²
Podstawiamy znane wartości:
8² = h² + 2²
64 = h² + 4
h² = 60
h = √(60) = √(4 · 15) = 2√(15) cm
## Odpowiedź
Wysokość stożka wynosi h = 2√(15) cm.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.