Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,z takich, że x+y+z=3 prawdziwa jest nierówność: x²+y²+z² ≥ 3.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEZastosujemy nierówność między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną.
## Krok 1: Przypomnienie nierówności QM-AM
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi: √((a²+b²+c²)/3) ≥ (a+b+c)/3
## Krok 2: Podstawienie do nierówności
Podstawiamy a=x, b=y, c=z: √((x²+y²+z²)/3) ≥ (x+y+z)/3
## Krok 3: Wykorzystanie warunku zadania
Z założenia wiemy, że x+y+z=3, więc: √((x²+y²+z²)/3) ≥ 3/3 = 1
## Krok 4: Podniesienie obu stron do kwadratu
Ponieważ obie strony są nieujemne, możemy podnieść je do kwadratu: (x²+y²+z²)/3 ≥ 1
## Krok 5: Otrzymanie tezy
Mnożąc obie strony przez 3: x²+y²+z² ≥ 3
## Analiza równości
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x=y=z.
Z warunku x+y+z=3 otrzymujemy 3x=3, czyli x=y=z=1.
Sprawdzenie: 1²+1²+1² = 3 ✓
---
Alternatywny dowód (przez rozwinięcie):
Rozważmy wyrażenie: (x-1)² + (y-1)² + (z-1)² ≥ 0
Rozwijając: x²-2x+1 + y²-2y+1 + z²-2z+1 ≥ 0 x²+y²+z² - 2(x+y+z) + 3 ≥ 0 x²+y²+z² - 2 · 3 + 3 ≥ 0 x²+y²+z² ≥ 3
Co kończy dowód.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.