Oblicz największą wartość funkcji f(x)=-2x²+16x-15 w przedziale ⟨-2,3⟩.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 15
Szukamy największej wartości funkcji f(x)=-2x²+16x-15 w przedziale ⟨-2,3⟩.
Krok 1: Identyfikacja typu funkcji
Funkcja f(x)=-2x²+16x-15 jest funkcją kwadratową o współczynniku a=-2<0, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Funkcja ma maksimum w wierzchołku.
Krok 2: Obliczenie współrzędnych wierzchołka
Współrzędna x wierzchołka: p = -b/(2a) = -16/(2 · (-2)) = -16/-4 = 4
Krok 3: Sprawdzenie położenia wierzchołka względem przedziału
Wierzchołek znajduje się w punkcie x=4, ale przedział to ⟨-2,3⟩.
Ponieważ 4 ∉ ⟨-2,3⟩, wierzchołek leży poza przedziałem.
Krok 4: Analiza monotoniczności
Funkcja kwadratowa z a<0: - rośnie dla x < p, czyli dla x < 4 - maleje dla x > p, czyli dla x > 4
Cały przedział ⟨-2,3⟩ leży na lewo od wierzchołka, więc funkcja rośnie w całym tym przedziale.
Krok 5: Wyznaczenie maksimum
Skoro funkcja rośnie w przedziale ⟨-2,3⟩, to największą wartość przyjmuje w prawym końcu przedziału, czyli dla x=3.
f(3) = -2 · 3² + 16 · 3 - 15 f(3) = -2 · 9 + 48 - 15 f(3) = -18 + 48 - 15 f(3) = 15
Odpowiedź: Największa wartość funkcji w przedziale ⟨-2,3⟩ wynosi 15.
Funkcje: Dziedzina i zbiór wartości, odczytywanie własności z wykresu, miejsca zerowe, monotoniczność i przesunięcia wykresu.