Prostokątny pas wykładziny dywanowej o wymiarach 3,6 m na 7,5 m należy przeciąć prostopadle do dłuższego boku tak, aby przekątne otrzymanych dwóch prostokątnych kawałków różniły się o 1,5 m. Oblicz wymiary większego z otrzymanych kawałków.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 4,8 m i 3,6 m
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2012-2-28.png]
Oznaczymy wymiary i ustalimy zależności.
Dane: - Prostokątny pas wykładziny: 3,6 m × 7,5 m - Przecinamy prostopadle do dłuższego boku (czyli prostopadle do boku 7,5 m) - Przekątne otrzymanych prostokątów różnią się o 1,5 m
Krok 2: Ustalenie wymiarów po przecięciu
Przecinamy prostopadle do dłuższego boku, więc tnąć będziemy wzdłuż krótszego boku.
Po przecięciu otrzymamy dwa prostokąty o wymiarach: - Pierwszy prostokąt: 3,6 m × x m - Drugi prostokąt: 3,6 m × (7,5 - x) m
gdzie x to długość pierwszego kawałka (mierzona wzdłuż dłuższego boku).
Krok 3: Obliczenie przekątnych
Przekątna pierwszego prostokąta: d₁ = √(3,6² + x²)
Przekątna drugiego prostokąta: d₂ = √(3,6² + (7,5 - x)²)
Krok 4: Warunek zadania
Przekątne różnią się o 1,5 m. Zakładamy, że d₂ > d₁ (sprawdzimy to później): d₂ - d₁ = 1,5
√(3,6² + (7,5 - x)²) - √(3,6² + x²) = 1,5
Krok 5: Rozwiązanie równania
√(12,96 + (7,5 - x)²) - √(12,96 + x²) = 1,5
√(12,96 + (7,5 - x)²) = √(12,96 + x²) + 1,5
Podnosimy obie strony do kwadratu: 12,96 + (7,5 - x)² = 12,96 + x² + 3√(12,96 + x²) + 2,25
56,25 - 15x + x² = x² + 3√(12,96 + x²) + 2,25
54 - 15x = 3√(12,96 + x²)
18 - 5x = √(12,96 + x²)
Ponownie podnosimy do kwadratu: (18 - 5x)² = 12,96 + x²
324 - 180x + 25x² = 12,96 + x²
24x² - 180x + 311,04 = 0
Dzielimy przez 24: x² - 7,5x + 12,96 = 0
Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego
Δ= 56,25 - 51,84 = 4,41
x = (7,5 ± 2,1)/2
x₁ = 9,6/2 = 4,8 lub x₂ = 5,4/2 = 2,7
Krok 7: Wymiary otrzymanych kawałków
Dla x = 4,8: - Kawałek 1: 3,6 m × 4,8 m - Kawałek 2: 3,6 m × 2,7 m
Dla x = 2,7 otrzymalibyśmy te same kawałki w odwrotnej kolejności.
Odpowiedź:
Wymiary większego kawałka to 3,6 m × 4,8 m (lub 4,8 m × 3,6 m).
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.