Dany jest ciąg (a_n) o wyrazie ogólnym a_n=-n²+16 dla n ≥ 1. Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.3
- B.4
- C.5
- D.7
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Musimy znaleźć wszystkie wartości n ≥ 1, dla których a_n > 0.
Krok 1: Ustalenie warunku
Wyraz ciągu jest dodatni, gdy: a_n > 0 -n² + 16 > 0
Krok 2: Rozwiązanie nierówności
-n² + 16 > 0 16 > n² n² < 16
Krok 3: Znalezienie rozwiązań
Z warunku n² < 16 wynika, że: -4 < n < 4
Ponieważ n ≥ 1 (warunek z zadania), to: n ∈ {1, 2, 3}
Krok 4: Weryfikacja
Sprawdzamy wartości: - a₁ = -1² + 16 = -1 + 16 = 15 > 0 ✓ - a₂ = -2² + 16 = -4 + 16 = 12 > 0 ✓ - a₃ = -3² + 16 = -9 + 16 = 7 > 0 ✓ - a₄ = -4² + 16 = -16 + 16 = 0 (nie jest dodatnie) - a₅ = -5² + 16 = -25 + 16 = -9 < 0
Wniosek:
Liczba dodatnich wyrazów ciągu wynosi 3.
Odpowiedź: A
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.