Turysta pokonał pieszo trasę długości 30 km z miejscowości A do miejscowości B ze stałą prędkością. Rowerem poruszałby się z prędkością o 9 km/h większą i przybyłby do celu o 3 godziny wcześniej. Wyznacz prędkość marszu turysty i czas przejścia tej drogi.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: v=6 km/h, t=5 h
Oznacza się wielkości występujące w zadaniu: - v [km/h] – prędkość marszu turysty - t [h] – czas przejścia trasy pieszo - s = 30 km – długość trasy
## Krok 1: Zapisuje się zależność między drogą, prędkością i czasem dla marszu pieszo
Ze wzoru s = v · t otrzymuje się: 30 = v · t
Stąd: t = 30/v
## Krok 2: Zapisuje się warunki dla jazdy rowerem
Gdyby turysta jechał rowerem: - prędkość wynosiłaby: v + 9 [km/h] - czas przejazdu: t - 3 [h] (o 3 godziny krócej)
Korzysta się ponownie ze wzoru s = v · t: 30 = (v + 9)(t - 3)
## Krok 3: Podstawia się wyrażenie na t z kroku 1
Z pierwszego równania wynika, że t = 30/v, więc: 30 = (v + 9)(30/v - 3)
## Krok 4: Rozwija się i upraszcza równanie
30 = (v + 9) · (30 - 3v)/v
30v = (v + 9)(30 - 3v)
30v = 30v - 3v² + 270 - 27v
30v = 30v - 3v² + 270 - 27v
0 = -3v² - 27v + 270
Dzieli się obie strony przez -3: v² + 9v - 90 = 0
## Krok 5: Rozwiązuje się równanie kwadratowe
Oblicza się wyróżnik: Δ= 9² - 4 · 1 · (-90) = 81 + 360 = 441 = 21²
v = (-9 ± 21)/2
Otrzymuje się dwa rozwiązania: - v₁ = (-9 + 21)/2 = 12/2 = 6 - v₂ = (-9 - 21)/2 = -30/2 = -15
Ponieważ prędkość musi być dodatnia: v = 6 km/h
## Krok 6: Oblicza się czas marszu
t = 30/v = 30/6 = 5 h
## Sprawdzenie
- Marsz pieszo: 30 km przy 6 km/h trwa 5 h ✓ - Jazda rowerem: 30 km przy 15 km/h trwa 2 h ✓ - Różnica czasu: 5 - 2 = 3 h ✓
Odpowiedź: Prędkość marszu turysty wynosi v = 6 km/h, a czas przejścia trasy t = 5 h.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.