W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:
Odpowiedzi do wyboru
- A.√(17)/17
- B.√(5)/5
- C.4√(17)/17
- D.1/17
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-09.png]
Oznaczeń i analiza zadania: - Niech podstawa trójkąta równoramiennego ma długość a - Wysokość opuszczona na podstawę ma długość h = 2a - W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy
Krok 2: Rozpatrzenie trójkąta prostokątnego
Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokąte. W każdym z nich: - jedna przyprostokątna to połowa podstawy: a/2 - druga przyprostokątna to wysokość: h = 2a - przeciwprostokątna to ramię trójkąta równoramiennego: b
Krok 3: Obliczenie długości ramienia
Z twierdzenia Pitagorasa: b² = (a/2)² + (2a)²
b² = a²/4 + 4a² = a²/4 + 16a²/4 = 17a²/4
b = a√(17)/2
Krok 4: Obliczenie sinusa kąta przy podstawie
Kąt przy podstawie oznaczmy jako α. W trójkącie prostokątnym:
sin α= przyprostokątna przeciwległa/przeciwprostokątna = h/b
sin α= 2a/(a√(17)/2) = 2a · 2/a√(17) = 4/√(17)
Krok 5: Wymiernienie mianownika
sin α= 4/√(17) · √(17)/√(17) = 4√(17)/17
Odpowiedź: C
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.