Dana jest liczba a=√((2-2√(5))²)-2√(5) . Wykaż, że liczba a jest całkowita.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPunktem wyjścia jest uproszczenie wyrażenia pod pierwiastkiem kwadratowym.
Krok 1: Obliczenie wartości bezwzględnej
Mamy a = √((2-2√(5))²) - 2√(5)
Przypomnijmy, że √(x²) = |x|
Więc: a = |2-2√(5)| - 2√(5)
Krok 2: Określenie znaku wyrażenia 2-2√(5)
Sprawdźmy, czy 2-2√(5) jest dodatnie czy ujemne:
2 - 2√(5) = 2(1-√(5))
Ponieważ √(5) ≈ 2,236 > 1, to: 1 - √(5) < 0
Zatem: 2 - 2√(5) < 0
Krok 3: Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej
Skoro 2-2√(5) < 0, to: |2-2√(5)| = -(2-2√(5)) = -2+2√(5) = 2√(5)-2
Krok 4: Podstawienie do wzoru na a
a = (2√(5)-2) - 2√(5)
a = 2√(5) - 2 - 2√(5)
a = -2
Wniosek:
Liczba a = -2 jest liczbą całkowitą, co kończy dowód.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.