Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 24, a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę α i tg α=2. Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(3)/6
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-31.png]
Oznaczeń i dane: - Ostrosłup prawidłowy trójkątny (podstawa to trójkąt równoboczny) - Pole powierzchni bocznej: P_b = 24 - Kąt płaski ściany bocznej przy podstawie: α, gdzie tg α= 2
Krok 2: Zrozumienie kąta płaskiego ściany bocznej
Ściana boczna to trójkąt równoramienny. Kąt płaski przy podstawie to jeden z dwóch kątów równych tego trójkąta (kąty przy krawędzi podstawy ostrosłupa).
Niech: - a = długość krawędzi podstawy - h_b = wysokość ściany bocznej (apotema ostrosłupa)
Krok 3: Wykorzystanie warunku tg α= 2
W trójkącie równoramiennym (ściana boczna) o podstawie a i ramionach b:
tg α= h_b/(a/2) = 2h_b/a
Z warunku tg α= 2:
2h_b/a = 2
h_b = a
Krok 4: Obliczenie pola powierzchni bocznej
Powierzchnia boczna składa się z 3 równych trójkątów:
P_b = 3 · 1/2 · a · h_b = 3 · 1/2 · a · a = 3a²/2
Z warunku P_b = 24:
3a²/2 = 24
a² = 16
a = 4
Zatem h_b = 4.
Krok 5: Znalezienie wysokości ostrosłupa
Dla trójkąta równobocznego o boku a = 4, promień okręgu wpisanego:
r = a/(2√(3)) = 4/(2√(3)) = 2/√(3) = 2√(3)/3
Wysokość ostrosłupa H możemy znaleźć z trójkąta prostokątnego utworzonego przez: - H (wysokość ostrosłupa) - r (odległość od środka podstawy do środka krawędzi podstawy) - h_b (apotema = wysokość ściany bocznej)
H² + r² = h_b²
H² + (2√(3)/3)² = 16
H² + 4 · 3/9 = 16
H² + 4/3 = 16
H² = 16 - 4/3 = (48 - 4)/3 = 44/3
Krok 6: Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
Kąt nachylenia β ściany bocznej do podstawy obliczamy z tego samego trójkąta prostokątnego:
cos β= r/h_b = 2√(3)/3/4 = 2√(3)/12 = √(3)/6
Odpowiedź: cos β= √(3)/6
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.