Rozwiąż nierówność x²-9>0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ (-∞;-3) ∪ (3;+∞)
Rozwiążemy nierówność kwadratową korzystając z rozkładu na czynniki.
Krok 1: Rozkład lewej strony na czynniki
Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia a² - b² = (a-b)(a+b):
x² - 9 = x² - 3² = (x-3)(x+3)
Nierówność przyjmuje postać:
(x-3)(x+3) > 0
Krok 2: Znajdowanie miejsc zerowych
Iloczyn jest równy zero, gdy: - x - 3 = 0, czyli x = 3 - x + 3 = 0, czyli x = -3
Krok 3: Analiza znaku iloczynu
Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na trzy przedziały. Sprawdzamy znak iloczynu w każdym:
| Przedział | x < -3 | -3 < x < 3 | x > 3 | |-----------|------------|----------------|-----------| | x-3 | - | - | + | | x+3 | - | + | + | | Iloczyn | + | - | + |
Możemy też sprawdzić konkretne wartości: - Dla x = -4: (-4-3)(-4+3) = (-7)(-1) = 7 > 0 ✓ - Dla x = 0: (0-3)(0+3) = (-3)(3) = -9 < 0 ✗ - Dla x = 4: (4-3)(4+3) = (1)(7) = 7 > 0 ✓
Krok 4: Odczytanie rozwiązania
Iloczyn jest dodatni dla x < -3 lub x > 3.
Odpowiedź: x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞)
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.