Suma 2n początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.S_(2n)=8n²+4n
- B.S_(2n)=4n²+2n
- C.S_(2n)=4n²+n
- D.S_(2n)=2n²+2n
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Szukamy sumy 2n początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych.
Krok 1: Wypisanie ciągu
Pierwsze 2n liczb naturalnych dodatnich parzystych to: 2, 4, 6, 8, ..., 4n-2, 4n
Krok 2: Rozpoznanie ciągu arytmetycznego
To ciąg arytmetyczny o: - pierwszym wyrazie a₁ = 2 - różnicy r = 2 - ostatnim (2n-tym) wyrazie a_(2n) = 4n
Sprawdzenie: a_(2n) = a₁ + (2n-1) · r = 2 + (2n-1) · 2 = 2 + 4n - 2 = 4n ✓
Krok 3: Wzór na sumę ciągu arytmetycznego
S_(2n) = (pierwszy wyraz + ostatni wyraz) · liczba wyrazów/2
S_(2n) = (a₁ + a_(2n)) · 2n/2 = (2 + 4n) · 2n/2
Krok 4: Uproszczenie
S_(2n) = 2n(2 + 4n)/2 = n(2 + 4n) = 2n + 4n²
S_(2n) = 4n² + 2n
Weryfikacja dla n=1: suma dwóch pierwszych liczb parzystych to 2+4=6, a wzór daje 4 · 1² + 2 · 1 = 6 ✓
Odpowiedź: B
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.