Prosta y = x + 4 przecina okrąg o równaniu (x + 1)² + (y - 2)² = 25 w punktach A i B. Oblicz współrzędne punktów A i B, a następnie oblicz obwód trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A=(-5,-1), B=(2,6), Ob=10+7√(2)
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2012-30.png]
Wyznacza się punkty przecięcia prostej z okręgiem, a następnie oblicza obwód trójkąta.
## Krok 2: Wyznaczenie punktów przecięcia A i B
Podstawia się równanie prostej y = x + 4 do równania okręgu (x + 1)² + (y - 2)² = 25
(x + 1)² + (x + 4 - 2)² = 25
(x + 1)² + (x + 2)² = 25
Rozwija się nawiasy:
x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 = 25
2x² + 6x + 5 = 25
2x² + 6x - 20 = 0
Dzieli się przez 2:
x² + 3x - 10 = 0
## Krok 3: Rozwiązanie równania kwadratowego
Szuka się rozkładu na czynniki lub stosuje wzór:
Δ= 9 + 40 = 49
x₁ = (-3 - 7)/2 = -10/2 = -5
x₂ = (-3 + 7)/2 = 4/2 = 2
## Krok 4: Wyznaczenie współrzędnych y
Dla x₁ = -5: y₁ = -5 + 4 = -1
Dla x₂ = 2: y₂ = 2 + 4 = 6
Zatem: A = (-5, -1), B = (2, 6)
Uwaga: W odpowiedzi podano A=(-5,1), ale z obliczeń wynika A=(-5,-1). Sprawdza się poprawność w równaniu okręgu:
(-5+1)² + (-1-2)² = 16 + 9 = 25 ✓
## Krok 5: Ustalenie środka okręgu S
Z równania (x + 1)² + (y - 2)² = 25 odczytuje się:
S = (-1, 2)
Promień: r = 5
## Krok 6: Obliczenie długości boków trójkąta ABS
Bok |AS|:
|AS| = √((-5-(-1))² + (-1-2)²) = √((-4)² + (-3)²) = √(16 + 9) = √(25) = 5
Bok |BS|:
|BS| = √((2-(-1))² + (6-2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √(25) = 5
Bok |AB|:
|AB| = √((2-(-5))² + (6-(-1))²) = √(7² + 7²) = √(49 + 49) = √(98) = 7√(2)
## Krok 7: Obliczenie obwodu
Ob_(ABS) = |AS| + |BS| + |AB| = 5 + 5 + 7√(2) = 10 + 7√(2)
Odpowiedź: A = (-5, -1), B = (2, 6), Ob = 10 + 7√(2)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.