Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (a_n) określony wzorem a_n = n² - 2n - 24 dla n ≥ 1?
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 5
Musimy znaleźć wszystkie naturalne n ≥ 1, dla których a_n < 0.
## Krok 1: Nierówność do rozwiązania
Szukamy n, dla których: a_n < 0 n² - 2n - 24 < 0
## Krok 2: Rozwiązanie nierówności kwadratowej
Najpierw znajdźmy miejsca zerowe funkcji f(n) = n² - 2n - 24.
Rozkładamy na czynniki lub używamy delty: Δ= (-2)² - 4 · 1 · (-24) = 4 + 96 = 100
n₁ = (2 - 10)/2 = -8/2 = -4
n₂ = (2 + 10)/2 = 12/2 = 6
## Krok 3: Analiza znaku funkcji kwadratowej
Funkcja f(n) = n² - 2n - 24 to parabola o ramionach skierowanych w górę (współczynnik przy n² jest dodatni).
Funkcja jest ujemna między miejscami zerowymi: n² - 2n - 24 < 0 dla n ∈ (-4, 6)
## Krok 4: Uwzględnienie dziedziny
Ponieważ n ≥ 1 (numery wyrazów ciągu to liczby naturalne), interesuje nas przecięcie: n ∈ (-4, 6) ∩ [1, +∞) = [1, 6)
Czyli: n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
## Krok 5: Weryfikacja (opcjonalnie)
Sprawdźmy kilka wartości: - a₁ = 1 - 2 - 24 = -25 < 0 ✓ - a₅ = 25 - 10 - 24 = -9 < 0 ✓ - a₆ = 36 - 12 - 24 = 0 (nie jest ujemny) - a₇ = 49 - 14 - 24 = 11 > 0
## Odpowiedź
Ciąg ma 5 wyrazów ujemnych (dla n = 1, 2, 3, 4, 5).
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.