Ciąg arytmetyczny (a_n) określony jest wzorem a_n=2016-3n, dla n ≥ 1. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 676368
Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu (a_n).
Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy n=1, to wyraz jest dodatni i jest równy a₁=2016-3=2013. Jednak gdy n=1000 to wyraz jest już ujemny i wynosi a₁₀₀₀2016-3000=-984. Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:
a_n > 0 2016-3n > 0 -3n > -2016 -n > -672 n < 672
Wiemy, że w ciągach n musi być liczbą naturalną, czyli skoro n < 672 to będziemy mieli 671 wyrazów dodatnich.
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:
S_n=(a₁+a_n)/2 · n S₆₇₁=(a₁+a₆₇₁)/2 · 671 S₆₇₁=((2016-3 · 1)+(2016-3 · 671))/2 · 671 S₆₇₁=(2013+3)/2 · 671 S₆₇₁=2016/2 · 671 S₆₇₁=1008 · 671 S₆₇₁=676368
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.