Rozwiąż nierówność 3x²-6x ≥ (x-2)(x-8)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ (-∞,-4⟩ ∪ ⟨2,+∞)
Krok 1. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę.
To bardzo ważny krok o którym często się zapomina. Aby móc rozwiązać taką nierówność kwadratową np. za pomocą metody delty musimy mieć wszystkie wyrazy po lewej stronie, zostawiając po prawej tylko zero. Zatem:
3x²-6x ≥ (x-2)(x-8) 3x²-6x-(x-2)(x-8) ≥ 0
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności.
Aby obliczyć miejsca zerowe musimy albo przedstawić tę nierówność w postaci iloczynowej (wtedy przyrównamy każdy z nawiasów do zera i tak wyznaczymy miejsca zerowe) albo przedstawić tę nierówność w postaci ogólnej typu ax²+bx+c i wtedy skorzystamy z metody delty. Z racji tego iż zamiana na postać iloczynową nie jest tak oczywista i łatwa (po różnych przekształceniach dałoby się to zapisać jako (x-2)(2x+8) ≥ 0), to my skorzystamy z metody delty, zatem:
3x²-6x-(x-2)(x-8) ≥ 0 3x²-6x-(x²-8x-2x+16) ≥ 0 3x²-6x-x²+8x+2x-16 ≥ 0 2x²+4x-16 ≥ 0
Współczynniki: a=2, b=4, c=-16
Δ=b²-4ac=4²-4 · 2 · (-16)=16-(-128)=16+128=144 √(Δ)=√(144)=12
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-4-12)/(2 · 2)=-16/4=-4 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-4+12)/(2 · 2)=8/4=2
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik a był dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak ≥) i szkicujemy wykres paraboli:
Teraz odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Wyraźnie widzimy, że jest to zbiór x ∈ (-∞;-4⟩ ∪ ⟨2;+∞).
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.