Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC: A=(-3,-3) oraz C=(2,7) oraz prosta o równaniu y=3/4 x-3/4, zawierająca przeciwprostokątną AB tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B=(7, 4 1/2) oraz |AB|=12,5
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Do zadania możemy podejść tak naprawdę na dwa sposoby. Pierwszy sposób polegałby na tym, że wyznaczylibyśmy sobie równanie prostej przechodzącej przez punkty AC, a następnie wyznaczylibyśmy równanie prostej prostopadłej (czyli poznalibyśmy wzór prostej BC). Znając wzór prostej BC łatwo wyznaczylibyśmy współrzędne punktu B, bo to będzie punkt przecięcia się prostej BC oraz prostej której wzór jest podany w treści zadania. To jest taki standardowy sposób rozwiązywania tego typu zadań.
My jednak policzymy sobie to nieco sprytniej i zastosujemy tutaj drugi sposób, który wykorzystuje Twierdzenie Pitagorasa.
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu B z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Do wyznaczenia współrzędnych punktu B wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
|AB|=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²)
Analogicznie możemy wyznaczyć w ten sposób długości odcinków AC czy też BC.
Współrzędne punktów A i C są nam znane, więc możemy w prosty sposób wyznaczyć długość odcinka AC. Bez znajomości współrzędnych punktu B nie będziemy w stanie obliczyć natomiast długości odcinków AB oraz BC, ale przy wykorzystaniu Twierdzenia Pitagorasa będziemy w stanie utworzyć równanie, które pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu B. Dla przejrzystości obliczeń przyjmijmy, że współrzędne punktu B to x oraz y:
cancel |BC|²+|AC|²=|AB|² (x-2)²+(y-7)²+(2-(-3))²+(7-(-3))²=(x-(-3))²+(y-(-3))² (x-2)²+(y-7)²+5²+10²=(x+3)²+(y+3)² x²-4x+4+y²-14y+49+25+100=x²+6x+9+y²+6y+9 -4x-14y+178=6x+6y+18 10x+20y=160 /:10 x+2y=16
Tak na marginesie to otrzymaliśmy w ten sposób równanie prostej BC. Gdybyśmy chcieli, to moglibyśmy je jeszcze przekształcić i zapisać w postaci kierunkowej, czyli y=-1/2 x+8.
Wracając do otrzymanego równania x+2y=16, to teraz pod wartość y możemy podstawić równanie prostej na której leży nasz punkt B, czyli y=3/4 x-3/4 i otrzymamy:
x+2 · (3/4 x-3/4)=16 x+6/4 x-6/4=16 / · 4 4x+6x-6=64 10x=70 x=7
Podstawiając teraz wartość tej współrzędnej do równania prostej z treści zadania wyznaczymy także wartość współrzędnej y:
y=3/4 · 7-3/4 y=21/4-3/4 y=18/4=4 1/2
Otrzymaliśmy w ten sposób współrzędne B=(7;4 1/2).
Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka AB.
Znając współrzędne punktów A i B obliczymy długość odcinka AB z wykorzystaniem wzoru o którym mówiliśmy sobie w drugim kroku:
|AB|=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²) |AB|=√((7-(-3))²+(4 1/2-(-3))²) |AB|=√(10²+7 1/2²) |AB|=√(100+(15/2)²) |AB|=√(400/4+225/4) |AB|=√(625/4) |AB|=25/2=12 1/2
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.