Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60° , a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Dodatkowo możemy opisać sobie długość boku podstawy jako a, pamiętając w podstawie jest trójkąt równoboczny.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka |DC| oraz |DO|.

Odcinek |DC| jest wysokością trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie. Jeżeli założyliśmy sobie, że krawędź podstawy ma długość a, to zgodnie ze wzorami wysokość jest takiego trójkąta jest równa |DC|=a√(3)/2.

Odcinek |DO| będzie mieć zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego długość równą 1/3 długości wysokości:

|DO|=1/3 · |DC|=1/3 · a√(3)/2=a√(3)/6

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka DS.

Spójrzmy na trójkąt DOS.

W tym kroku wyznaczymy długość odcinka DS, który jest jednocześnie wysokością ściany bocznej naszej bryły. Do jego wyznaczenia wykorzystamy funkcję cosinusa:

|DO|/|DS|=cos60° a√(3)/6/|DS|=1/2 a√(3)/6=1/2 · |DS| |DS|=a√(3)/3

Krok 4. Obliczenie długości odcinka OS, czyli wysokości ostrosłupa.

Nadal korzystamy z trójkąta DOS i tym razem wykorzystamy funkcję sinusa:

|OS|/|DS|=sin60° |OS|/(a√(3)/3)=√(3)/2 |OS|=√(3)/2 · a√(3)/3 |OS|=3a/6=1/2 a

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Tym razem interesuje nas trójkąt BDS, bo to z niego uda nam się wyznaczyć wartość niewiadomej a, którą oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy i która pojawiła nam się już w dotychczasowych obliczeniach.

Długość odcinka DS obliczyliśmy przed chwilą w trzecim kroku i jest ona równa a√(3)/3. Długość odcinka BS jest podana w treści zadania i wynosi 7. Brakuje nam jeszcze długości odcinka DB, ale wiedząc, że wysokość trójkąta równoramiennego (a taki mamy w ścianach bocznych) przecina podstawę w połowie jej długości to możemy zapisać, że |DB|=1/2 a. Znamy długości wszystkich boków, więc podstawmy te dane do Twierdzenia Pitagorasa.

|DB|²+|DS|²=|BS|² (1/2 a)²+(a√(3)/3)²=7² 1/4 a²+a² · 3/9=49 1/4 a²+1/3 a²=49 / · 12 3a²+4a²=588 7a²=588 a²=84 a=√(4 · 21) a=2√(21)

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Do obliczenia objętości potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły.

Pole podstawy wyznaczymy ze wzoru P=a²√(3)/4, gdzie a=2√(21), zatem:

P_p=(2√(21))²√(3)/4 P_p=4 · 21√(3)/4 P_p=21√(3)

Wysokością jest nasz odcinek |OS|=1/2 a. Wystarczy więc podstawić a=2√(21) i otrzymamy wysokość ostrosłupa.

H=1/2 · 2√(21)=√(21)

Znając pole podstawy i wysokość obliczymy teraz objętość bryły:

V=1/3 · P_p · H V=1/3 · 21√(3) · √(21) V=7√(3) · √(21) V=7√(3) · √(3 · 7) V=7√(3) · √(3) · √(7) V=7 · 3 · √(7) V=21√(7)