W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S. Wykaż, że jeżeli |AS|=5/6|AC|, to pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Pierwszą rzeczą, którą musimy zauważyć to fakt iż trójkąty ABS oraz DCS są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt. Wynika to z zależności między kątami wierzchołkowymi i naprzemianległymi. Jeśli |∢SAB|=α to kąt naprzemianległy |∢SCD|=α. Analogicznie |∢ABS|=|∢SDC|=β. Natomiast |∢ASB|=|∢DSC|=γ bo są to kąty wierzchołkowe.
Krok 2. Obliczenie skali podobieństw trójkątów ABC oraz DCS.
Jeżeli długość przekątnej AC oznaczymy sobie jako x, to odcinek |AS|=5/6 x oraz |SC|=1/6 x (wynika to wprost z treści zadania). Zatem skala podobieństw tych trójkątów jest równa:
k=|AS|/|SC|=5/6/(1/6)=5
Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni obydwu trójkątów.
Jeżeli skala podobieństwa dwóch figur jest równa k, to stosunek pól powierzchni tych dwóch figur jest równy k². Skoro w naszym przypadku k=5, to k²=25. Pole trójkąta ABS jest więc 25 razy większe od pola trójkąta DCS i właśnie w ten sposób możemy zakończyć nasze dowodzenie.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.