Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc=1, to a^(-1)+b^(-1)+c^(-1)=ab+ac+bc
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Obliczenie wartości potęgowanych wyrazów.
Podniesienie liczby do potęgi -1 daje wynik, który jest odwrotnością potęgowanej liczby. To oznacza, że:
a^(-1)+b^(-1)+c^(-1)=1/a+1/b+1/c
Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Aby móc dodać do siebie te wszystkie ułamki musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie abc, zatem:
cancel 1 · abc/(a · abc)+1 · abc/(b · abc)+1 · abc/(c · abc)= =bc/abc+ac/abc+ab/abc=(bc+ac+ab)/abc
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że abc=1, zatem:
a^(-1)+b^(-1)+c^(-1)=(bc+ac+ab)/abc=(bc+ac+ab)/1= =bc+ac+ab=ab+ac+bc
W ten oto sposób dowód możemy uznać za zakończony.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.