Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = -4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, jest równa 16. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Oblicz liczbę k, dla której a_k = -78.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a₁ = 26 i k = 27
Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.
Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa 16, to znaczy że:
(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆)/6=16 a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=96
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego a_n=a₁+(n-1)r możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób:
a₁ a₂=a₁+r a₃=a₁+2r a₄=a₁+3r a₅=a₁+4r a₆=a₁+5r
Skoro tak, to możemy zapisać, że:
a₁+a₁+r+a₁+2r+a₁+3r+a₁+4r+a₁+5r=96 6a₁+15r=96
Z treści zadania wynika, że r=-4, zatem mamy:
6a₁+15 · (-4)=96 6a₁-60=96 6a₁=156 a₁=26
Krok 3. Obliczenie wartości k dla której a_k=-78.
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy -78, wiedząc że a₁=26 oraz r=-4. Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego a_n=a₁+(n-1)r. W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu n możemy użyć symbolu k, tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem:
a_k=a₁+(k-1)r -78=26+(k-1) · (-4) -78=26-4k+4 -78=30-4k -4k=-108 k=27
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.