Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Wyznaczenie miary kąta SBC.
Spójrzmy na trójkąt SBC. Wiemy, że jest to trójkąt równoramienny, bo z treści zadania wynika, że SB=BC. Skoro tak, to kąty przy podstawie tego trójkąta mają identyczną miarę. Jeżeli więc kąt ACS (czyli tak jakby BCS) ma miarę α, to kąt BSC ma także miarę równą α.
To z kolei oznacza, że skoro w trójkącie suma kątów ma być równa 180°, to kąt SBC ma miarę:
|∢SBC|=180°-α-α=180°-2α
Krok 2. Wyznaczenie miary kąta ABS.
Kąt ABS i kąt SBC to kąty przyległe, których łączna miara musi mieć w takim razie 180°. Skoro |∢SBC|=180°-2α, to znaczy że kąt ABS musi mieć miarę równą 2α. Jeżeli ktoś tego nie dostrzega, to możemy to rozpisać w taki sposób:
|∢ABS|=180°-|∢SBC| |∢ABS|=180°-(180°-2α) |∢ABS|=180°-180°+2α |∢ABS|=2α
Krok 3. Obliczenie miary kąta ASB.
Teraz spójrzmy na trójkąt ABS. To także trójkąt równoramienny (ramiona AS oraz BS są promieniami okręgu), zatem tutaj też kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro więc |∢ABS|=2α to i |∢SAB|=2α.
To z kolei oznacza, że trzeci kąt w tym trójkącie, czyli kąt ASB będzie miał miarę:
|∢ASB|=180°-2α-2α=180°-4α
Krok 4. Obliczenie miary kąta ASD.
Suma kątów ASD, ASB oraz BSC musi nam dać łącznie 180°. Już ustaliliśmy, że |∢ASB|=180°-4α oraz |∢ASB|=α. Szukamy miary kąta ASD zatem:
|∢ASD|=180°-|∢ASB|-|∢BSC| |∢ASD|=180°-(180°-4α)-α |∢ASD|=180°-180°+4α-α |∢ASD|=3α
Udało nam się udowodnić, że |∢ASD|=3α, zatem dowód możemy uznać za zakończony.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.