Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a² - 2ab + 3b² ≥ 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Rozpisanie podanego wyrażenia.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że (a-b)²=a²-2ab+b². W związku z tym możemy rozbić sobie wyrażenie z treści zadania na takie, by jego częściami składowymi był właśnie zapis a²-2ab+b². Całość wyglądałaby następująco:
3a²-2ab+3b²=a²-2ab+b²+2a²+2b²=(a-b)²+2a²+2b²
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Przeanalizujmy sobie każdy ze składników powstałej sumy:
(a-b)² - jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
2a² - ta liczba też jest na pewno dodatnia lub równa zero, bo a² jest na pewno nieujemne, no a liczba nieujemna pomnożona przez 2 nadal jest liczbą nieujemną.
2b² - podobnie jak 2a², jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero.
W związku z tym mając dodawanie (a-b)²+2a²+2b² dodajemy do siebie trzy liczby, które są na pewno dodatnie lub równe zero. Stąd też ich suma musi dać wynik większy lub równy 0.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.