Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek). Wtedy
Odpowiedzi do wyboru
- A.|OK| = 6
- B.|OK| = 8
- C.|OK| = 10
- D.|OK| = 12
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty OAK oraz BPK. Są to trójkąty podobne i jesteśmy w stanie stwierdzić to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. W jaki sposób?
Styczna tworzy z promieniem kąt prosty, zatem jeden i drugi trójkąt są prostokątne. Dodatkowo kąty AKO oraz BKP są kątami wierzchołkowymi, a zgodnie z własnościami takich kątów będą one miały jednakową miarę. Skoro więc dwa kąty w tych trójkątach mają jednakowe miary, to i trzeci kąt ma tą samą miarę. To oznacza, że na pewno będą to trójkąty podobne.
Krok 2. Zapisanie równania.
Skoro są to trójkąty podobne, to muszą mieć one jednakowe stosunki długości boków. Skoro interesuje nas poznanie odcinka OK (czyli tak naprawdę przeciwprostokątnej trójkąta OAK) i znamy długości boków OA oraz BP, to możemy ułożyć następującą proporcję:
|OA|/|OK|=|BP|/|KP| 5/|OK|=3/|KP|
Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka OK.
Mnożąc na krzyż równanie otrzymane w drugim kroku otrzymamy informację, że:
5 · |KP|=3 · |OK| |KP|=3/5 · |OK|
Z rysunku oraz z treści zadania wynika, że:
|OK|+|KP|=16
Podstawiając informację o tym, że |KP|=3/5 · |OK| otrzymamy:
|OK|+3/5 · |OK|=16 1,6 · |OK|=16 |OK|=10
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.