W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |BD| = 2√(17)
Krok 1. Obliczenie długości boku AD.
Spójrzmy na trójkąt ACD. Jest to na pewno trójkąt prostokątny którego jeden z kątów ostrych ma miarę 30°. Znamy też miarę jednego z boków tego trójkąta, bowiem |AC|=4. Mając miarę kąta oraz jednego boku jesteśmy w stanie obliczyć pozostałe długości boków tego trójkąta, czyli AD oraz DC. Możemy to zrobić albo z wykorzystaniem własności trójkąta 30°, 60°, 90° albo po prostu z funkcji trygonometrycznych. Korzystając z własności takiego trójkąta wiemy, że bok AD jest równy połowie długości AC, zatem:
|AD|=2
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej BD.
Teraz spójrzmy na trójkąt ABD. To także jest trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków |AD|=2 oraz |AB|=8, a przeciwprostokątna tego trójkąta to poszukiwana przez nas przekątna trapezu, czyli odcinek BD. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
2²+8²=|BD|² 4+64=|BD|² |BD|²=68 |BD|=√(68)=√(4 · 17)=2√(17)
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.