Dany jest punkt A = (-18, 10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy narysować sobie tę sytuację w układzie współrzędnych.

Krok 2. Ustalenie współczynnika kierunkowego a prostej AB.

Symetralna odcinka to nic innego jak prosta prostopadła, która musi przechodzić przez środek odcinka. Skoro to ma być prosta prostopadła do prostej przechodzącej AB i wiemy, że ta symetralna wyraża się równaniem y=3x, to możemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy a naszej prostej przechodzącej przez punkty AB.

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych ma być równy -1, zatem skoro symetralna ma a=3, to prosta AB musi mieć ten współczynnik równy a=-1/3.

To też oznacza, że nasza prosta AB musi wyrażać się wzorem:

y=-1/3 x+b

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej AB.

Do pełnego wzoru prostej AB brakuje nam znajomości współczynnika b. Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt A=(-18,10) i podstawiając te współrzędne do wyznaczonej przed chwilą postaci y=-1/3 x+b wyznaczymy brakujący współczynnik b. Zatem:

10=-1/3 · (-18)+b 10=6+b b=4

To oznacza, że nasza prosta AB wyraża się równaniem:

y=-1/3 x+4

Krok 4. Wyznaczenie środka odcinka AB.

Prosta AB oraz symetralna przecinają się w punkcie, który jest środkiem odcinka AB (jest to własność symetralnej). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązując układ równań składający się z dwóch prostych wyznaczymy współrzędne punktu ich przecięcia, czyli w naszym przypadku współrzędne środka odcinka AB. Zatem:

y=3x y=-1/3 x+4 Korzystając z metody podstawiania mamy: 3x=-1/3 x+4 / · 3 9x=-x+12 10x=12 x=12/10=6/5 Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć współrzędną igrekową, korzystając z dowolnego równania np. y=3x, zatem: y=3 · 6/5 y=18/5 To oznacza, że współrzędne środka odcinka AB to: S=(6/5; 18/5) Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu B. Znamy współrzędne punktu A, znamy współrzędne punktu S (czyli środka odcinka), zatem możemy bez przeszkód obliczyć współrzędne punktu B, korzystając ze wzoru: S=((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2) Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie: x_S=(x_A+x_B)/2 6/5=(-18+x_B)/2 12/5=-18+x_B 12/5=-90/5+x_B x_B=102/5=20 2/5 oraz y_S=(y_A+y_B)/2 18/5=(10+y_B)/2 36/5=10+y_B 36/5=50/5+y_B y_B=-14/5=-2 4/5 To oznacza, że B=(20 2/5; -2 4/5).