Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.

W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku 6, zatem jego pole będzie równe:

P_p=6 · 6=36

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni całkowitej jest cztery razy większe od pola powierzchni podstawy, zatem to pole musi być równe:

P_c=4 · P_p P_c=4 · 36 P_c=144

Krok 3. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.

Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe 144, a pole podstawy jest równe 36, to pole wszystkich czterech ścian bocznych będzie równe:

P_b=P_c-P_p P_b=144-36 P_b=108

My takich ścian mamy cztery, zatem każda z nich (np. ściana BCS) ma pole powierzchni równe:

P_(BCS)=108:4 P_(BCS)=27

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.

Spójrzmy na jedną ze ścian bocznych, np. na trójkąt BCS. Jest to trójkąt o podstawie równej 6 i polu powierzchni równym 27. W związku z tym w prosty sposób możemy wyznaczyć wysokość tego trójkąta:

P=1/2 ah_b 27=1/2 · 6 · h_b 54=6h_b h_b=9

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na niebieski trójkąt SOE. Odcinek OE to będzie długość równa połowie krawędzi podstawy, czyli:

|OE|=6:2 |OE|=3

Wiemy też, że SE ma długość 9. Jedynym niewiadomym bokiem w tym trójkącie jest więc odcinek SO, czyli wysokość ostrosłupa. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

H²+3²=9² H²+9=81 H²=72 H=6√(2)

Krok 6. Obliczenie długości krawędzi bocznej.

Spójrzmy na trójkąt AOS i obliczmy długość krawędzi bocznej AS. Odcinek AO to połowa długości przekątnej podstawy. Skoro mamy kwadrat o boku 6, to cała przekątna ma długość 6√(2), czyli:

|AO|=6√(2):2 |AO|=3√(2)

Odcinek SO (czyli wysokość trójkąta) jest już nam znana, zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

(3√(2))²+(6√(2))²=|AS|² 9 · 2+36 · 2=|AS|² 18+72=|AS|² |AS|²=90 |AS|=√(90)=3√(10)

Krok 7. Obliczenie cosinusa kąta alfa.

Znając długość odcinka AO oraz AS bez problemu obliczymy cosinus kąta alfa:

cosα=|AO|/|AS| cosα=3√(2)/(3√(10)) cosα=√(2)/√(10) cosα=√(2)/(√(2) · √(5)) cosα=1/√(5) cosα=1 · √(5)/(√(5) · √(5)) cosα=√(5)/5