W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy (-16), a siódmy wyraz jest równy (-1/4). Kwadrat czwartego wyrazu jest równy
Odpowiedzi do wyboru
- A.-2
- B.4
- C.(61/8)²
- D.(65/8)²
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez a₁ = -16, a iloraz przez q.
Krok 1: Znajdźmy wzór na siódmy wyraz
W ciągu geometrycznym: a₇ = a₁ · q⁶
Krok 2: Podstawmy dane i obliczmy iloraz
-1/4 = (-16) · q⁶
q⁶ = -1/4/-16 = 1/4 · 1/16 = 1/64
Krok 3: Obliczmy q
q⁶ = 1/64 = 1/2⁶
q = ± 1/2
Krok 4: Sprawdźmy warunek rosnącego ciągu
Ciąg jest rosnący, więc a_n < a_(n+1) dla każdego n.
- Jeśli q = -1/2: a₂ = (-16) · (-1/2) = 8, więc a₁ = -16 < a₂ = 8 ✓ - Jeśli q = 1/2: a₂ = (-16) · 1/2 = -8, więc a₁ = -16 < a₂ = -8 ✓
Sprawdźmy dalej dla q = 1/2: a₃ = -8 · 1/2 = -4, więc a₂ = -8 < a₃ = -4 ✓, ale a₄ = -2, a₅ = -1, a₆ = -1/2, a₇ = -1/4 - ciąg faktycznie rośnie.
Sprawdźmy dla q = -1/2: a₃ = 8 · (-1/2) = -4, więc a₂ = 8 > a₃ = -4 ✗
Zatem q = 1/2.
Krok 5: Obliczmy czwarty wyraz
a₄ = a₁ · q³ = (-16) · (1/2)³ = (-16) · 1/8 = -2
Krok 6: Obliczmy kwadrat czwartego wyrazu
a₄² = (-2)² = 4
Odpowiedź: B
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.