Zadania CKE z prawdopodobieństwa z rozwiązaniami krok po kroku

Prawdopodobieństwo to jeden z tych działów, które na maturze potrafią dać łatwe punkty, albo zabrać je głupio, jeśli pomylisz przestrzeń zdarzeń. Dobra wiadomość: schematy powtarzają się z roku na rok. Na tej stronie zebrałem najważniejsze typy zadań CKE z prawdopodobieństwa, z rozwiązaniami krok po kroku, plus linki do zadań z prawdziwych arkuszy, na których możesz to przećwiczyć.

Wszystkie zadania pochodzą z bazy ponad 2300 zadań CKE z lat 2010-2025. Jeśli wolisz od razu ćwiczyć, wejdź na stronę działu prawdopodobieństwo albo losuj zadanie.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Podstawa, od której zaczyna się prawie każde zadanie zamknięte. Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to:

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

gdzie $|A|$ to liczba zdarzeń sprzyjających, a $|\Omega|$ to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych. Cała sztuka polega na tym, żeby poprawnie policzyć obie liczby. To dlatego prawdopodobieństwo tak mocno łączy się z kombinatoryką.

Dwie własności, które musisz znać:

• •$0 \le P(A) \le 1$, prawdopodobieństwo nigdy nie jest ujemne ani większe od 1
• •$P(A') = 1 - P(A)$, prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

To drugie to twój najlepszy przyjaciel w zadaniach typu "co najmniej".

Zadania zamknięte CKE z prawdopodobieństwa

Zacznijmy od typów, które najczęściej pojawiają się jako zadania zamknięte za 1 punkt.

Zadanie 1

Rzucamy symetryczną kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba parzysta?

Przestrzeń: $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$, więc $|\Omega| = 6$. Zdarzenia sprzyjające to liczby parzyste: $A = \{2,4,6\}$, czyli $|A| = 3$.

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Zadanie 2

Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 7?

Wszystkich wyników jest $6 \cdot 6 = 36$. Sumę 7 dają pary: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), czyli 6 możliwości.

$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Zadanie 3

W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe?

Tu wchodzi kombinatoryka. Wszystkich sposobów wyboru 2 kul z 8 jest $\binom{8}{2} = 28$. Sposobów wyboru 2 białych z 5 jest $\binom{5}{2} = 10$.

$P = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

Zadania otwarte CKE krok po kroku

W zadaniach otwartych za 2-4 punkty zwykle pojawia się drzewko albo schemat losowania bez zwracania. Pokażę ci dwie kluczowe techniki.

Zadanie 4 - metoda zdarzenia przeciwnego

Rzucamy monetą 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł?

Liczenie wprost, czyli jeden, dwa lub trzy orły, jest pracochłonne. Szybciej przez zdarzenie przeciwne: "co najmniej jeden orzeł" to dopełnienie zdarzenia "same reszki".

$P(\text{same reszki}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ $P(\text{co najmniej jeden orzeł}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Zapamiętaj regułę: gdy w zadaniu pada "co najmniej", prawie zawsze liczysz przez dopełnienie.

Zadanie 5 - drzewko losowania bez zwracania

W urnie są 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy kolejno 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe?

Rysujemy drzewko. Przy pierwszym losowaniu białych jest 3 z 5, więc $P = \frac{3}{5}$. Po wyjęciu jednej białej zostają 2 białe na 4 kule, więc druga biała ma $P = \frac{2}{4}$. Mnożymy prawdopodobieństwa wzdłuż gałęzi:

$P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

Sprawdźmy kombinatoryką: $\frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{10}$. Zgadza się, drzewko i kombinatoryka muszą dawać ten sam wynik.

Zadanie 6

Z grupy 10 osób, 6 dziewcząt i 4 chłopców, losujemy 3-osobową delegację. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w delegacji będą same dziewczęta?

Wszystkich sposobów wyboru 3 osób z 10 jest $\binom{10}{3} = 120$. Sposobów wyboru 3 dziewcząt z 6 jest $\binom{6}{3} = 20$.

$P = \frac{\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$

Prawdopodobieństwo z kombinatoryką

Najtrudniejsze zadania łączą prawdopodobieństwo z permutacjami, wariacjami i kombinacjami. Klucz to rozpoznać, czy kolejność ma znaczenie:

• •kolejność ważna i bez powtórzeń: wariacje bez powtórzeń
• •kolejność nieważna: kombinacje, czyli symbol Newtona $\binom{n}{k}$
• •ustawienie wszystkich elementów: permutacje

Jeśli te pojęcia ci się mylą, zacznij od kombinatoryki na maturze, a potem wróć tutaj. Warto też ogarnąć prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa, bo na rozszerzeniu pojawia się regularnie.

Prawdopodobieństwo sumy i zdarzeń rozłącznych

Czasem pytanie brzmi o prawdopodobieństwo, że zajdzie jedno albo drugie zdarzenie. Wtedy korzystasz ze wzoru na sumę:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Jeśli zdarzenia są rozłączne, czyli nie mogą zajść jednocześnie, to $P(A \cap B) = 0$ i wzór upraszcza się do $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Zadanie 7

Losujemy jedną kartę z talii 52 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy asa lub kiera?

Asów jest 4, kierów 13, ale as kier należy do obu zbiorów, więc część wspólna to $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$.

$P = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

Gdybyś zapomniał odjąć część wspólną, dostałbyś zawyżony wynik. To klasyczna pułapka przy słowie "lub".

Schemat Bernoulliego na poziomie rozszerzonym

Na maturze rozszerzonej pojawia się schemat Bernoulliego, czyli seria niezależnych prób, w których interesuje cię liczba sukcesów. Prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach liczysz wzorem:

$P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

gdzie p to prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, a $1-p$ prawdopodobieństwo porażki.

Zadanie 8

Rzucamy monetą 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 2 razy?

Tu $n = 4$, $k = 2$, $p = \frac{1}{2}$. Podstawiamy do wzoru:

$P(2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Jeśli rozszerzenie to twój cel, zobacz też prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa, bo schemat Bernoulliego i prawdopodobieństwo warunkowe to dwa filary trudniejszych zadań. Po teorii koniecznie przećwicz wszystko na prawdziwych arkuszach CKE.

Najczęstsze pułapki

• •Złe $|\Omega|$. Najczęstszy błąd to źle policzona przestrzeń zdarzeń. Zawsze zacznij od pytania: ile jest wszystkich możliwych wyników?
• •Mylenie losowania ze zwracaniem i bez zwracania. Bez zwracania liczba kul w mianowniku maleje przy każdym losowaniu.
• •Nierozróżnianie obiektów. Przy dwóch kostkach (1,6) i (6,1) to dwa różne wyniki.
• •Zapominanie o dopełnieniu. Gdy widzisz "co najmniej jeden", licz przez $1 - P(A')$.
• •Wynik spoza przedziału. Jeśli wyjdzie ci prawdopodobieństwo większe od 1, na pewno jest błąd.

Gdzie ćwiczyć zadania CKE z prawdopodobieństwa

Teoria to jedno, ale punkty na maturze zdobywasz rozwiązywaniem zadań. Na sprawnamatura.pl masz 108 zadań z prawdopodobieństwa z prawdziwych arkuszy CKE, każde z rozwiązaniem krok po kroku:

• •przejdź do działu prawdopodobieństwo i rozwiązuj zadania po kolei
• •jak utkniesz, wrzuć zdjęcie do solvera i zobacz pełne rozwiązanie
• •rozwiąż całe arkusze CKE, żeby poćwiczyć prawdopodobieństwo w kontekście całego egzaminu
• •powtórz teorię w przewodnikach: prawdopodobieństwo - definicja i drzewko oraz prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Większość zadań i przewodników jest za darmo. Pełen dostęp do wszystkich rozwiązań daje abonament Premium, który kosztuje mniej niż jedna godzina korepetycji. Więcej o tym przeczytasz w tekście ile kosztują korepetycje z matematyki i czym je zastąpić.

FAQ

Schemat rozwiązywania zadań z prawdopodobieństwa krok po kroku

Zanim rzucisz się na liczenie, przejdź zawsze przez ten sam schemat. Działa na maturze podstawowej i rozszerzonej:

1. 1.Opisz przestrzeń zdarzeń. Zapisz, co jest pojedynczym wynikiem doświadczenia, i policz $|\Omega|$. To najważniejszy krok, bo tu rodzi się większość błędów.
2. 2.Określ zdarzenie sprzyjające. Przeczytaj dokładnie, o co pyta zadanie, i policz $|A|$. Uważaj na słowa "co najmniej", "dokładnie", "lub", "oraz", bo każde z nich zmienia liczenie.
3. 3.Wybierz metodę. Prosta przestrzeń to klasyczna definicja. Losowanie bez zwracania to drzewko albo kombinacje. Powtarzalne próby to schemat Bernoulliego.
4. 4.Policz i sprawdź sensowność. Podstaw do wzoru $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ i sprawdź, czy wynik mieści się w przedziale od 0 do 1. Jeśli wyszło więcej niż 1, masz błąd.

Ten schemat działa jak lista kontrolna. Gdy utkniesz, wróć do kroku pierwszego, bo prawie zawsze problem leży w źle policzonej przestrzeni zdarzeń.

Zadanie 9

W pudełku jest 6 losów, z czego 2 wygrywające. Kupujesz 2 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden będzie wygrywający?

Liczymy przez dopełnienie. Prawdopodobieństwo, że oba losy są przegrywające, czyli wybieramy 2 z 4 przegrywających, to:

$P(\text{żaden}) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{2}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Zatem:

$P(\text{co najmniej jeden}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

Znów zadziałała reguła dopełnienia. Przećwicz ten schemat na zestawie zadań w dziale prawdopodobieństwo, a trudniejsze przypadki połącz z kombinatoryką.

Podsumowanie - co musisz umieć

Zacznij ćwiczyć teraz: wejdź na zadania z prawdopodobieństwa i rozwiąż pierwsze pięć. Po przerobieniu działu wróć do strategii oszczędzania na nauce w tekście korepetycje z matematyki - ile kosztują i czym je zastąpić.

Następny krok Losuj kolejne zadanie