Ze zbioru wszystkich krawędzi (krawędzi bocznych i krawędzi podstawy) ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego losujemy jedną krawędź, a następnie z pozostałych krawędzi losujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane krawędzie będą miały wspólny wierzchołek.

Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-134.png]

Sporządzenie rysunku pomocniczego.

# Rozwiązanie

## Krok 1: Określenie liczby krawędzi ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy pięciokątny ma: - podstawę w kształcie pięciokąta foremnego: 5 krawędzi - krawędzie boczne łączące wierzchołki podstawy ze szczytem: 5 krawędzi

Łącznie: 10 krawędzi

## Krok 2: Liczba wszystkich możliwych par krawędzi

Losujemy pierwszą krawędź (10 możliwości), następnie drugą spośród pozostałych (9 możliwości).

Liczba wszystkich uporządkowanych par krawędzi: |Ω| = 10 · 9 = 90

## Krok 3: Analiza struktury wierzchołków

Ostrosłup ma: - 5 wierzchołków podstawy (oznaczmy je A₁, A₂, A₃, A₄, A₅) - 1 wierzchołek w szczycie (oznaczmy S)

Łącznie: 6 wierzchołków

## Krok 4: Ile krawędzi wychodzi z każdego wierzchołka?

- Z każdego wierzchołka podstawy A_i wychodzą 3 krawędzie: 2 krawędzie podstawy (do sąsiednich wierzchołków) i 1 krawędź boczna (do S) - Ze szczytu S wychodzi 5 krawędzi (wszystkie krawędzie boczne)

## Krok 5: Liczenie par krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem

Dla każdej wylosowanej pierwszej krawędzi zliczmy, ile krawędzi ma z nią wspólny wierzchołek:

Przypadek 1: Pierwsza krawędź jest krawędzią podstawy (5 takich krawędzi)

Przykład: krawędź A₁A₂ ma końce w A₁ i A₂. - Z wierzchołka A₁ wychodzą 3 krawędzie (w tym A₁A₂) - Z wierzchołka A₂ wychodzą 3 krawędzie (w tym A₁A₂) - Krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem: 3 + 3 - 1 = 5 (odejmujemy 1, bo A₁A₂ policzyliśmy dwukrotnie)

Liczba uporządkowanych par: 5 · 5 = 25

Przypadek 2: Pierwsza krawędź jest krawędzią boczną (5 takich krawędzi)

Przykład: krawędź SA₁ ma końce w S i A₁. - Z wierzchołka S wychodzi 5 krawędzi (w tym SA₁) - Z wierzchołka A₁ wychodzą 3 krawędzie (w tym SA₁) - Krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem: 5 + 3 - 1 = 7

Liczba uporządkowanych par: 5 · 7 = 35

## Krok 6: Obliczenie prawdopodobieństwa

Liczba par ze wspólnym wierzchołkiem: |A| = 25 + 35 = 60

Prawdopodobieństwo: P(A) = 60/90 = 2/3

Ups, otrzymano 2/3, a nie 5/9. Sprawdza się ponownie...

## Korekta: Dokładniejsze zliczanie

Z każdego wierzchołka A_i podstawy, wybierając krawędź wychodzącą z A_i, pozostaje 2 inne krawędzie z tego wierzchołka (bo jedna jest już wybrana).

Dla krawędzi podstawy A_iA_(i+1): - z A_i: pozostają 2 krawędzie - z A_(i+1): pozostają 2 krawędzie - razem: 2 + 2 = 4 krawędzie ze wspólnym wierzchołkiem

Dla krawędzi bocznej SA_i: - z S: pozostają 4 krawędzie - z A_i: pozostają 2 krawędzie - razem: 4 + 2 = 6 krawędzi

|A| = 5 · 4 + 5 · 6 = 20 + 30 = 50

P(A) = 50/90 = 5/9

Odpowiedź: 5/9