Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń - własności prawdopodobieństwa na maturze

Zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$ to zdarzenie $A'$, które zachodzi dokładnie wtedy, gdy $A$ nie zachodzi, a jego prawdopodobieństwo liczysz ze wzoru $P(A') = 1 - P(A)$. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń liczysz ze wzoru $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, a gdy zdarzenia się wykluczają, wystarczy dodać: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Te dwa wzory plus podstawowe własności (prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od 0 do 1) wystarczają do rozwiązania niemal każdego maturalnego zadania z własności prawdopodobieństwa.

Ten typ zadania regularnie wraca w arkuszach CKE jako zadanie zamknięte za 1 punkt albo krótkie zadanie otwarte za 2 punkty: dostajesz kilka gotowych wartości, np. $P(A)$, $P(A \cup B)$ i $P(A \cap B)$, i masz wyznaczyć brakującą. Nie musisz niczego zliczać ani rysować drzewka - wystarczy podstawić do wzoru i uważnie przekształcić. W tym poście rozwiążemy 5 takich zadań krok po kroku i pokażemy pułapki, na których uczniowie tracą najwięcej punktów. Jeśli szukasz podstaw (definicja klasyczna, drzewka, zliczanie zdarzeń elementarnych), zacznij od przewodnika po prawdopodobieństwie na maturze.

Własności prawdopodobieństwa - komplet wzorów

Własności prawdopodobieństwa to zestaw reguł, które spełnia każde prawdopodobieństwo, niezależnie od doświadczenia losowego. Najważniejsze z nich: prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału $\langle 0, 1 \rangle$, prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0, zdarzenia pewnego 1, a dla zdarzenia przeciwnego zachodzi $P(A') = 1 - P(A)$.

Pełna lista, którą musisz znać:

• •$0 \le P(A) \le 1$ dla każdego zdarzenia $A$,
• •$P(\emptyset) = 0$ (zdarzenie niemożliwe) oraz $P(\Omega) = 1$ (zdarzenie pewne),
• •$P(A') = 1 - P(A)$ (zdarzenie przeciwne),
• •$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (suma zdarzeń),
• •jeśli zdarzenia $A$ i $B$ się wykluczają, czyli $A \cap B = \emptyset$, to $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$,
• •jeśli $A \subset B$, to $P(A) \le P(B)$ (większe zdarzenie ma większe prawdopodobieństwo),
• •$P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$ (różnica zdarzeń).

Dobra wiadomość: wzory na $P(A')$ i $P(A \cup B)$ są w tablicach CKE, w części poświęconej rachunkowi prawdopodobieństwa. Nie musisz ich pamiętać, ale musisz wiedzieć, że tam są i jak ich użyć. Sprawdź też co dokładnie zawiera karta wzorów CKE, żeby na egzaminie nie szukać na ślepo.

Co to jest zdarzenie przeciwne

Zdarzenie przeciwne do $A$ (oznaczane $A'$) to zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie należą do $A$. Innymi słowy: $A'$ zachodzi dokładnie wtedy, gdy $A$ nie zachodzi. Zdarzenia $A$ i $A'$ razem wyczerpują całą przestrzeń $\Omega$, dlatego ich prawdopodobieństwa sumują się do 1: $P(A) + P(A') = 1$.

Przykład z życia: rzucasz kostką, $A$ oznacza wypadnięcie szóstki. Wtedy $A'$ to wypadnięcie czegokolwiek innego niż szóstka, czyli 1, 2, 3, 4 lub 5. Masz $P(A) = \frac{1}{6}$, więc $P(A') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Zamiast zliczać pięć wyników, liczysz jeden i odejmujesz od jedynki.

Największa siła zdarzenia przeciwnego ujawnia się w zadaniach ze sformułowaniem co najmniej jeden. Policzenie wprost wymaga rozbicia na wiele przypadków, a przez zdarzenie przeciwne (ani jeden) załatwiasz to jedną linijką. Zobaczysz to w przykładzie 4.

Suma i iloczyn zdarzeń - jak je czytać

Suma zdarzeń $A \cup B$ to zdarzenie polegające na tym, że zaszło $A$ lub zaszło $B$ (co najmniej jedno z nich, mogą też oba naraz). Iloczyn zdarzeń $A \cap B$ to zdarzenie polegające na tym, że zaszły $A$ i $B$ jednocześnie. W zadaniach tekstowych słowo lub sygnalizuje sumę, a słowa i, oraz, jednocześnie wskazują iloczyn.

Dlaczego we wzorze na sumę odejmujemy $P(A \cap B)$? Bo dodając $P(A)$ i $P(B)$, część wspólną policzyliśmy dwa razy - raz w $A$, raz w $B$. Odjęcie $P(A \cap B)$ naprawia to podwójne liczenie. Jeśli zdarzenia nie mają części wspólnej (wykluczają się), nie ma czego odejmować i wzór upraszcza się do zwykłego dodawania.

Najłatwiej to zobaczyć na diagramie Venna (dwa nachodzące na siebie koła w prostokącie): koło $A$, koło $B$, ich wspólny fragment to $A \cap B$, a wszystko, co obejmują razem, to $A \cup B$. Gdy dodasz pola obu kół, wspólny fragment wliczysz podwójnie - i dokładnie dlatego raz go odejmujesz. Jeśli w zadaniu gubisz się w oznaczeniach, narysuj taki diagram na brudno i wpisz znane prawdopodobieństwa w odpowiednie obszary. Bardzo często brakująca wartość wychodzi z samego rysunku, zanim jeszcze sięgniesz po wzór.

Zapamiętaj też dwa tłumaczenia z języka polskiego na język zdarzeń, które robią całą robotę w zadaniach tekstowych: nie zajdzie $A$ to $A'$, a nie zajdzie ani $A$, ani $B$ to $(A \cup B)'$, czyli zdarzenie przeciwne do sumy. Z kolei co najwyżej jeden raz oznacza zero razy lub jeden raz - to suma dwóch wykluczających się przypadków, więc ich prawdopodobieństwa po prostu dodajesz.

Jak rozpoznać ten typ zadania w arkuszu

Zadanie na własności prawdopodobieństwa poznasz po tym, że w treści od razu dostajesz gotowe wartości, np. $P(A) = 0{,}3$ czy $P(A \cup B) = 0{,}8$, a nie opis doświadczenia losowego. Nie ma kostek, kul ani monet do zliczania - są same litery i liczby. Twoja praca sprowadza się do wyboru właściwego wzoru i przekształcenia go względem szukanej wielkości.

W arkuszach formuły 2015 i 2023 ten typ pojawia się regularnie, zwykle jako zadanie zamknięte za 1 punkt. Bywa też częścią zadań dowodowych, w których trzeba coś uzasadnić z samych własności (przykład 5). To jedne z najszybszych punktów do zgarnięcia w całym arkuszu, o ile znasz wzory.

Zadania maturalne krok po kroku

Typowe pułapki

• •Dodawanie bez odejmowania części wspólnej. Wzór $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ działa tylko dla zdarzeń wykluczających się. Jeśli zadanie podaje $P(A \cap B) > 0$, musisz je odjąć.
• •Mylenie zdarzenia przeciwnego z różnicą zdarzeń. $A'$ to wszystko poza $A$. Różnica $A \setminus B$ to część $A$ leżąca poza $B$. To dwa różne zdarzenia i dwa różne wzory.
• •Wynik poza przedziałem $\langle 0, 1 \rangle$. Jeśli wyszło ci $P = 1{,}2$ albo wartość ujemna, gdzieś jest błąd rachunkowy. To najszybszy test poprawności - używaj go po każdym zadaniu. Więcej takich testów zebraliśmy w poście o sprawdzaniu odpowiedzi na maturze.
• •Liczenie co najmniej jeden wprost. Formalnie się da, ale to długa droga z wieloma przypadkami, w której łatwo coś zgubić. Zdarzenie przeciwne (ani jeden) załatwia to jednym mnożeniem.
• •Zakładanie wykluczania bez podstaw. Jeśli w treści nie ma ani słowa o tym, że zdarzenia się wykluczają, nie wolno przyjąć $P(A \cap B) = 0$.

Checklista: co musisz umieć

Gotowy na trening? Rozwiązuj zadania CKE z prawdopodobieństwa z pełnymi rozwiązaniami albo przejdź do całej bazy zadań z prawdopodobieństwa. A gdy opanujesz własności, naturalny następny krok to prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie