Losowanie bez zwracania - jak liczyć prawdopodobieństwo kombinacjami

Gdy losujesz jednocześnie kilka elementów z grupy podzielonej na podgrupy (na przykład kule w dwóch kolorach albo losy w loterii) i pytanie brzmi "jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych elementów będzie dokładnie k sztuk danego rodzaju", liczysz to kombinacjami: w liczniku mnożysz liczbę sposobów wyboru z każdej podgrupy osobno, a w mianowniku masz liczbę sposobów wyboru ze wszystkich elementów naraz.

$P = \frac{\binom{a}{k} \cdot \binom{b}{n-k}}{\binom{a+b}{n}}$

gdzie $a$ i $b$ to liczności obu podgrup, $n$ to liczba losowanych elementów, a $k$ to liczba elementów pierwszego rodzaju, których szukasz. Ten schemat wraca na maturze regularnie, bo pasuje do wielu różnych treści - kul w urnie, losów w loterii, kart w talii, uczniów w klasie. W tym artykule rozwiążemy razem trzy zadania: klasyczne "dokładnie k", trudniejsze "co najmniej jeden" oraz wariant z trzema grupami naraz. Jeśli różnica między kombinacją a wariacją jest dla ciebie niejasna, zajrzyj najpierw do kombinatoryki na maturze - tu zakładam, że symbol Newtona już znasz.

Wzór ogólny - losowanie z kilku grup naraz

Gdy w zbiorze $N$ elementów wyróżnione są podgrupy o licznościach $a_1, a_2, \ldots, a_j$ (ich suma daje $N$) i losujesz jednocześnie $n$ elementów, prawdopodobieństwo, że dostaniesz dokładnie $r_1$ elementów z pierwszej grupy, $r_2$ z drugiej, i tak dalej (przy czym $r_1+r_2+\ldots=n$), liczysz wzorem:

$P = \frac{\binom{a_1}{r_1} \cdot \binom{a_2}{r_2} \cdot \ldots \cdot \binom{a_j}{r_j}}{\binom{N}{n}}$

Dla dwóch grup to dokładnie wzór z akapitu wyżej. Kluczowa zasada: mianownik zawsze liczysz jako liczbę sposobów wyboru $n$ elementów ze wszystkich $N$ elementów naraz, a licznik jako iloczyn oddzielnych wyborów z każdej podgrupy.

Jak rozpoznać ten typ zadania

Szukaj w treści zwrotów: "losujemy jednocześnie", "wybieramy grupę", "losujemy bez zwracania" połączonych z pytaniem o dokładną liczbę elementów danego rodzaju. To sygnał, że kolejność losowania nie ma znaczenia, więc zarówno licznik, jak i mianownik liczysz kombinacjami (symbolem Newtona), a nie wariacjami. Gdyby w treści pojawiło się "kolejno" albo "ze zwracaniem", metoda byłaby inna - o tej różnicy więcej w sekcji pułapek.

Losowanie ze zwracaniem a losowanie bez zwracania

To rozróżnienie decyduje o całej metodzie, więc warto je mieć jasne. Przy losowaniu bez zwracania i jednoczesnym (tak jak we wszystkich trzech przykładach wyżej) liczysz kombinacjami - kolejność nie ma znaczenia, a skład grupy zmniejsza się z każdym wylosowanym elementem. Przy losowaniu ze zwracaniem albo gdy w treści pojawia się "kolejno" z niezależnymi próbami, elementy są losowane niezależnie i stosujesz raczej schemat Bernoulliego albo iloczyn prawdopodobieństw, a nie kombinacje z jednego wspólnego zbioru. Więcej o różnicy między losowaniem kolejnym a jednoczesnym, wraz z drzewkiem prawdopodobieństwa, znajdziesz w poradniku o prawdopodobieństwie i drzewku.

Zobacz różnicę na tych samych liczbach co w przykładzie 1. Tam losowaliśmy 4 kule jednocześnie z 5 białych i 7 czarnych, i wynik był $P=\frac{14}{33}\approx0{,}424$. Gdyby zadanie brzmiało: "losujemy kulę, zapisujemy kolor, wkładamy z powrotem i losujemy ponownie - powtarzamy to 4 razy - jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 razy wylosujesz kulę białą", skład pudełka po każdym losowaniu byłby taki sam (5 białych, 7 czarnych, czyli $p=\frac{5}{12}$ za każdym razem), więc liczyłbyś to schematem Bernoulliego:

$P = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{5}{12}\right)^2 \cdot \left(\frac{7}{12}\right)^2 = 6 \cdot \frac{25}{144} \cdot \frac{49}{144} \approx 0{,}354$

Wynik jest inny niż w przykładzie 1 (0,354 zamiast 0,424), mimo że pytanie brzmi niemal identycznie - "dokładnie 2 białe z 4". To dobry dowód na to, że jedno słowo w treści ("wkładamy z powrotem" kontra "jednocześnie") zmienia całą metodę rozwiązania.

Typowe pułapki

Pułapka 1: Użycie wariacji zamiast kombinacji. Skoro losowanie jest jednoczesne, kolejność nie ma znaczenia - zarówno licznik, jak i mianownik muszą być liczone tą samą metodą (kombinacjami), inaczej ułamek nie ma sensu.

Pułapka 2: Zapomnienie o dopełnieniu. Przy "dokładnie k z grupy A" pozostałe $n-k$ elementów trzeba wybrać z pozostałej grupy (grupy B), a nie z całego zbioru $N$ - inaczej policzysz wyniki, które nie spełniają warunku zadania.

Pułapka 3: Liczenie "co najmniej" wprost zamiast przez zdarzenie przeciwne. Suma kilku osobnych przypadków jest dłuższa i bardziej podatna na pominięcie jednego z nich. Jeśli w zadaniu jest "co najmniej" albo "co najwyżej", sprawdź najpierw, czy zdarzenie przeciwne nie jest krótsze do policzenia.

Pułapka 4: Zły mianownik. W mianowniku zawsze jest liczba sposobów wyboru ze wszystkich elementów łącznie ($\binom{N}{n}$), nie liczba sposobów wyboru z jednej podgrupy.

Pułapka 5: Nieskracanie wyniku. CKE w kluczu odpowiedzi zwykle podaje ułamek nieskracalny - zawsze sprawdź na końcu, czy licznik i mianownik mają wspólny dzielnik.

Co musisz umieć - checklist

Poćwicz ten schemat na zadaniach z prawdopodobieństwa. Jeśli symbol Newtona nadal budzi wątpliwości, wróć do wzoru na symbol Newtona, a jeśli wolisz ogólne wprowadzenie do liczenia prawdopodobieństwa krok po kroku, zacznij od jak obliczyć prawdopodobieństwo. Podobne zadania z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz też w arkuszu CKE 2025 PP i w zestawie zadań treningowych CKE.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie