Rzut monetą - prawdopodobieństwo, drzewko i zadania maturalne

Przy $n$ rzutach symetryczną monetą wszystkich możliwych wyników jest $2^n$: przy trzech rzutach 8, przy czterech 16, przy pięciu 32. Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie $k$ orłów liczysz ze wzoru $P=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$, czyli dzielisz liczbę układów z $k$ orłami przez wszystkie $2^n$ wyniki. Jeśli w zadaniu stoi "co najmniej", odejmij od 1 prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, bo to jeden ułamek zamiast czterech.

Rzut monetą to najtańsze punkty w całym dziale prawdopodobieństwa. W naszej bazie 2376 zadań z arkuszy CKE i arkuszy próbnych kategoria Prawdopodobieństwo ma 108 zadań, a 9 z nich to wprost rzut monetą: arkusze maj 2016, czerwiec 2016, czerwiec 2013, czerwiec 2018, sierpień 2014, sierpień 2016 i arkusze próbne. Schemat jest zawsze ten sam: policz $|\Omega|$, policz zdarzenia sprzyjające, podziel. Niżej masz komplet tych zadań rozwiązanych krok po kroku, a cały dział ogarniesz z przewodnika po prawdopodobieństwie na maturze.

Ile jest wszystkich wyników przy n rzutach monetą

Przy jednym rzucie masz dwie możliwości: orzeł (O) albo reszka (R). Rzuty są niezależne, więc z reguły mnożenia liczba wszystkich wyników przy $n$ rzutach wynosi $2^n$. Dla trzech rzutów $|\Omega|=2^3=8$, dla czterech $|\Omega|=2^4=16$, dla pięciu $|\Omega|=2^5=32$. To jest zawsze pierwszy krok rozwiązania i zawsze wpisujesz go do brudnopisu.

Kluczowe: wyniki są uporządkowane. Układ $(O,O,R)$ to inny wynik niż $(O,R,O)$, mimo że w obu wypadły dwa orły. Kto tego nie widzi, dostaje przy trzech rzutach $|\Omega|=4$ zamiast 8 i traci punkt na starcie.

Drzewko dla trzech rzutów monetą - wypisz wszystkie 8 wyników

Drzewko rysujesz od lewej: pierwszy rzut daje dwie gałęzie, każda z nich rozgałęzia się na dwie w drugim rzucie, i tak dalej. Przy trzech rzutach na końcu masz 8 gałęzi, a każda ma to samo prawdopodobieństwo $\frac{1}{8}$. Przy monecie symetrycznej wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc możesz je po prostu wypisać:

$OOO,\ OOR,\ ORO,\ ORR,\ ROO,\ ROR,\ RRO,\ RRR$

Teraz pogrupuj je po liczbie orłów. Wychodzi rozkład, który warto mieć w pamięci na maturę:

Suma tych czterech ułamków to 1, więc masz darmową kontrolę poprawności. Jeśli po zsumowaniu wyszło coś innego, gdzieś zgubiłeś układ.

Wzór na dokładnie k orłów w n rzutach

Zamiast wypisywać wszystko przy większej liczbie rzutów, użyj symbolu Newtona. Liczba układów, w których $k$ razy wypadł orzeł, to $\binom{n}{k}$, więc

$P(\text{dokładnie }k\text{ orłów})=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$

Dla czterech rzutów kolejne liczniki to $\binom{4}{0}=1$, $\binom{4}{1}=4$, $\binom{4}{2}=6$, $\binom{4}{3}=4$, $\binom{4}{4}=1$, a mianownik zawsze 16.

Jak liczyć symbol Newtona ręcznie, masz rozpisane w poradniku symbol Newtona i obliczanie dwumianu. Ten sam wzór jest szczególnym przypadkiem schematu Bernoulliego dla $p=\frac{1}{2}$, tylko przy monecie potęgi $p$ i $1-p$ zwijają się do jednego $2^n$ w mianowniku.

Zadania typu "co najmniej" - licz przez zdarzenie przeciwne

Kiedy widzisz "co najmniej jeden", nie sumuj przypadków, tylko odwróć zadanie. Zdarzeniem przeciwnym do "co najmniej jedna reszka" jest "ani jednej reszki", czyli dokładnie jeden układ $OOO$. Wtedy $P(A)=1-P(A')=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Jeden ułamek zamiast trzech i zero szans na zgubienie przypadku. Więcej o tej technice w tekście o zdarzeniu przeciwnym i sumie zdarzeń.

Odwrotnie działa "co najwyżej": "co najwyżej jeden orzeł" to zero orłów albo jeden orzeł, więc tu przypadki musisz zsumować. Najczęstszy błąd na maturze polega na zapomnieniu o zerze.

Jak rozpoznać typ zadania po jednym słowie

Wszystkie maturalne zadania z monetą sprowadzają się do czterech schematów. Zanim cokolwiek policzysz, znajdź w treści słowo kluczowe i dopisz obok metodę.

Ostatni wiersz jest najczęściej przegapiany. Jeśli zadanie pyta o wynik konkretnego rzutu, pozostałe rzuty nie mają wpływu na wynik i odpowiedź to zawsze $\frac{1}{2}$, niezależnie od tego, ile razy rzucasz monetą.

Zadanie 21: dokładnie jeden orzeł w trzech rzutach (Matura czerwiec 2016) ↗

Treść: rzucamy trzy razy symetryczną monetą, $p$ to prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła. Do którego przedziału należy $p$?

Krok 1: policz wszystkie zdarzenia elementarne. Trzy rzuty, dwa wyniki każdy, więc $|\Omega|=2^3=8$.

Krok 2: policz układy sprzyjające. Orzeł ma wypaść dokładnie raz, a miejsce dla niego wybierasz na $\binom{3}{1}=3$ sposoby: $ORR$, $ROR$, $RRO$. Zatem $|A|=3$.

Krok 3: podziel i porównaj z przedziałami. $p=\frac{3}{8}=0{,}375$, czyli $0{,}25\le p\le 0{,}4$. Poprawna odpowiedź to B.

Zadanie kosztuje 1 punkt i całą trudność ma w tym, że wynik trzeba jeszcze zamienić na postać dziesiętną. Nie zostawiaj $\frac{3}{8}$ i nie sprawdzaj przedziałów na oko.

Zadanie 22: dokładnie dwa orły w trzech rzutach (Matura maj 2016) ↗

Ta sama konstrukcja, ale pytanie o dwa orły. $|\Omega|=8$, a układów z dwoma orłami jest $\binom{3}{2}=3$: $OOR$, $ORO$, $ROO$. Stąd $p=\frac{3}{8}=0{,}375$, więc $0{,}35\lt p\le 0{,}5$ i odpowiedź to C.

Zwróć uwagę na symetrię: dwa orły w trzech rzutach to to samo co jedna reszka w trzech rzutach, dlatego wynik jest identyczny jak w zadaniu z czerwca 2016. Ta obserwacja skraca pracę przy większych $n$: $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

Zadanie 24: co najmniej jedna reszka (Matura sierpień 2014) ↗

Treść: rzucamy trzy razy symetryczną monetą, jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki?

Krok 1: nazwij zdarzenie przeciwne. Przeciwieństwem "co najmniej jedna reszka" jest "żadnej reszki", czyli same orły: tylko układ $OOO$.

Krok 2: policz prawdopodobieństwo przeciwnego. $P(A')=\frac{1}{8}$.

Krok 3: odejmij od jedynki. $P(A)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Odpowiedź A.

Gdybyś liczył wprost, musiałbyś zsumować przypadki z jedną, dwiema i trzema reszkami: $\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Wynik ten sam, roboty trzy razy więcej.

Zadanie 18: co najwyżej jeden orzeł w czterech rzutach (Matura próbna Operon listopad 2017) ↗

Treść: rzucono cztery razy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie co najwyżej jeden orzeł?

Krok 1: ustal $|\Omega|$. Cztery rzuty, więc $|\Omega|=2^4=16$.

Krok 2: rozpisz "co najwyżej jeden". To zero orłów albo jeden orzeł. Zero orłów to jeden układ $RRRR$, jeden orzeł to $\binom{4}{1}=4$ układy. Razem $|A|=1+4=5$.

Krok 3: podziel. $P(A)=\frac{5}{16}$. Odpowiedź B.

Popatrz na dystraktory w tym zadaniu: $\frac{2}{8}$ i $\frac{4}{16}$ to dokładnie ten sam ułamek $\frac{1}{4}$, czyli odpowiedź kogoś, kto policzył tylko przypadek z jednym orłem i zapomniał o zerze. Dwie z czterech odpowiedzi są przygotowane pod ten jeden błąd.

Zadanie 25: dwie monety i kostka w jednym doświadczeniu (Matura sierpień 2016) ↗

Treść: rzucamy dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną dwa orły i sześć oczek?

Krok 1: policz $|\Omega|$ regułą mnożenia. Pierwsza moneta 2 wyniki, druga moneta 2 wyniki, kostka 6 wyników, więc $|\Omega|=2\cdot 2\cdot 6=24$.

Krok 2: policz sprzyjające. Interesuje nas jeden konkretny wynik: orzeł, orzeł, szóstka. Zatem $|A|=1$.

Krok 3: podziel. $P(A)=\frac{1}{24}$. Odpowiedź B.

Mieszane doświadczenia (moneta plus kostka) są w arkuszach częstsze, niż się wydaje. Reguła jest jedna: mnożysz liczby wyników wszystkich etapów. Jeśli w zadaniu jest sama kostka rzucana dwa razy, wchodzi tabela 6 na 6, którą rozpisaliśmy w tekście o rzucie dwiema kostkami.

Zadanie 31: więcej orłów niż reszek w czterech rzutach (Matura czerwiec 2018, 2 pkt) ↗

To zadanie otwarte, więc punkty dostajesz za rozpisanie, nie za sam wynik. Treść: rzucamy cztery razy symetryczną monetą, oblicz prawdopodobieństwo, że liczba orłów będzie większa niż liczba reszek.

Krok 1: $|\Omega|=2^4=16$. Zapisz to jako $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, tak jak w oficjalnym rozwiązaniu CKE.

Krok 2: przetłumacz warunek na liczby. Cztery rzuty, więc orłów może być 0, 1, 2, 3 lub 4. Orłów więcej niż reszek oznacza 3 orły (3 kontra 1) albo 4 orły (4 kontra 0). Remis 2 na 2 nie wchodzi.

Krok 3: wypisz układy sprzyjające. $(O,O,O,O)$, $(O,O,O,R)$, $(O,O,R,O)$, $(O,R,O,O)$, $(R,O,O,O)$, czyli $|A|=5$.

Krok 4: policz prawdopodobieństwo. $P(A)=\frac{5}{16}$.

Ten sam wynik dostaniesz wzorem: $\frac{\binom{4}{3}+\binom{4}{4}}{16}=\frac{4+1}{16}=\frac{5}{16}$. Cały arkusz z tego terminu masz na stronie Matura czerwiec 2018, a rozwiązania w omówieniu arkusza.

Zadanie 29: jedna reszka czy orzeł w co drugim rzucie (Matura próbna styczeń 2013, 4 pkt) ↗

Treść: rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie jednej reszki czy wyrzucenie orła w co drugim rzucie?

Krok 1: wspólna przestrzeń. $|\Omega|=2^4=16$ dla obu zdarzeń.

Krok 2: policz pierwsze zdarzenie. Dokładnie jedna reszka to $\binom{4}{1}=4$ układy, więc $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.

Krok 3: policz drugie zdarzenie. "Orzeł w co drugim rzucie" to układ naprzemienny: orzeł stoi w rzucie drugim i czwartym, a w pierwszym i trzecim reszka, czyli $RORO$. To jeden układ, więc $P=\frac{1}{16}$.

Krok 4: porównaj. $\frac{1}{4}=\frac{4}{16}\gt\frac{1}{16}$, więc bardziej prawdopodobne jest wyrzucenie jednej reszki.

W zadaniach otwartych zawsze zapisz, jak rozumiesz treść ("przyjmuję, że orzeł wypada w drugim i czwartym rzucie"). Egzaminator ocenia tok rozumowania i to zdanie chroni cię przed zerem za rzekomo złą interpretację. Jak w ogóle punktowane są zadania otwarte, opisaliśmy w tekście o zasadach oceniania na maturze z matematyki.

Typowe pułapki

Traktowanie wyników jako nieuporządkowanych. Przy trzech rzutach $|\Omega|=8$, nie 4. "Dwa orły i reszka" to trzy różne wyniki, nie jeden.

Mieszanie "dokładnie" z "co najmniej". "Dokładnie jeden orzeł" w trzech rzutach to $\frac{3}{8}$, a "co najmniej jeden orzeł" to $\frac{7}{8}$. Podkreśl to słowo w treści, zanim zaczniesz liczyć.

Zapominanie o zerze w "co najwyżej". Przy czterech rzutach "co najwyżej jeden orzeł" ma 5 układów, nie 4.

Wiara, że moneta ma pamięć. W zadaniu z czerwca 2013 pytano o prawdopodobieństwo orła w trzecim rzucie z trzech. Odpowiedź to $\frac{1}{2}$, bo wynik trzeciego rzutu nie zależy od dwóch poprzednich. Wcześniejsze rzuty nie zmieniają niczego.

Niedokończone porównanie z przedziałem. W arkuszach z 2016 roku odpowiedzi były przedziałami liczbowymi. $\frac{3}{8}$ trzeba zamienić na $0{,}375$, inaczej łatwo wskazać zły przedział.

Zapominanie o iloczynie etapów. Moneta plus kostka to $2\cdot 6=12$ wyników, a dwie monety plus kostka $2\cdot 2\cdot 6=24$. Nigdy nie dodawaj tych liczb.

Najczęstsze pytania

Ile jest wszystkich wyników przy trzech rzutach monetą?
Osiem. Każdy rzut daje dwa wyniki, więc z reguły mnożenia $|\Omega|=2^3=8$. Przy czterech rzutach jest ich 16, a przy pięciu 32.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo dwóch orłów w trzech rzutach?
Policz układy z dwoma orłami: $\binom{3}{2}=3$, czyli $OOR$, $ORO$, $ROO$. Podziel przez 8 i masz $\frac{3}{8}=0{,}375$.

Co znaczy, że moneta jest symetryczna?
Że orzeł i reszka są jednakowo prawdopodobne, każde z prawdopodobieństwem $\frac{1}{2}$. Dzięki temu wszystkie wyniki serii rzutów mają to samo prawdopodobieństwo $\frac{1}{2^n}$ i możesz korzystać z definicji klasycznej.

Czy przy rzucie monetą kolejność wyników ma znaczenie?
Przy zliczaniu zdarzeń elementarnych tak. $(O,O,R)$ i $(O,R,O)$ to dwa różne wyniki, chociaż w obu są dwa orły. Dopiero grupowanie po liczbie orłów pomija kolejność.

Jak liczyć zadania z "co najmniej jedną reszką"?
Przez zdarzenie przeciwne. Odejmij od 1 prawdopodobieństwo, że reszka nie wypadła ani razu: $1-\frac{1}{2^n}$. Dla trzech rzutów daje to $\frac{7}{8}$.

Czy rzut monetą to schemat Bernoulliego?
Tak, z prawdopodobieństwem sukcesu $p=\frac{1}{2}$ i liczbą prób równą liczbie rzutów. Wzór Bernoulliego upraszcza się wtedy do $\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$, bo $\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}=\frac{1}{2^n}$.

Czy dwa orły pod rząd zmieniają szansę na trzeci orzeł?
Nie. Rzuty są niezależne, więc prawdopodobieństwo orła w kolejnym rzucie zawsze wynosi $\frac{1}{2}$. Przekonanie, że po serii orłów "musi" wypaść reszka, to klasyczny błąd hazardzisty.

Czy zadania z monetą są na maturze podstawowej?
Tak i to regularnie. W naszej bazie arkuszy jest 9 takich zadań, w większości zamkniętych za 1 punkt, ale w czerwcu 2018 pojawiło się zadanie otwarte za 2 punkty. Więcej zadań do ćwiczenia znajdziesz w zbiorze zadań CKE z prawdopodobieństwa i na stronie działu Prawdopodobieństwo.

Checklista - co musisz umieć

• •Policzyć $|\Omega|=2^n$ dla dowolnej liczby rzutów i uzasadnić to regułą mnożenia.
• •Wypisać wszystkie 8 wyników trzech rzutów bez zgubienia żadnego układu.
• •Znać rozkład liczby orłów dla $n=3$ (1, 3, 3, 1) i $n=4$ (1, 4, 6, 4, 1).
• •Użyć wzoru $P=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$ dla dokładnie $k$ orłów.
• •Rozpoznać "co najmniej" i policzyć to zdarzeniem przeciwnym.
• •Rozpisać "co najwyżej" na sumę przypadków, licząc od zera.
• •Policzyć doświadczenie złożone (monety plus kostka) iloczynem liczby wyników etapów.
• •Zamienić ułamek na postać dziesiętną, gdy odpowiedzi są przedziałami.
• •W zadaniu otwartym zapisać $|\Omega|$, $|A|$ i wynik, bo za to są punkty.