Jak obliczyć silnię, kombinacje i permutacje - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Kombinatoryka na maturze z matematyki zawsze wygląda strasznie, a potem okazuje się, że to podstawianie do jednego z pięciu wzorów. Cały trick polega na rozpoznaniu, co zadanie pyta: czy kolejność jest ważna, czy nie? Czy elementy się powtarzają? Czy wybieramy wszystkie czy tylko część?

W tym przewodniku pokażę Ci wszystkie wzory kombinatoryczne wymagane na maturze, kiedy je stosować i sześć przykładów z rozwiązaniami. Na koniec dostaniesz prostą regułę decyzyjną, która odpowie Ci na pytanie "który wzór wybrać".

Silnia - najprostszy wzór w kombinatoryce

Silnia liczby $n$ (oznaczana $n!$) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do $n$:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

Przykłady:

Warto mieć te wartości w pamięci aż do $7!$ - na maturze przydają się non-stop. $8!$ to już 40320, 9! = 362880 - dalej nie musisz.

Własność kluczowa: $n! = n \cdot (n-1)!$. To pozwala na skracanie ułamków z silniami:

$$\frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$

Nie licz $10!$ w całości - to strata czasu i źródło błędów. Skracaj silnie zanim cokolwiek pomnożysz.

Permutacje - ile można ustawić n przedmiotów

Permutacja to uporządkowanie wszystkich $n$ elementów zbioru w ciąg. Liczba permutacji wynosi:

$$P_n = n!$$

Kiedy stosować: kiedy ustawiasz wszystkie elementy i kolejność ma znaczenie.

Przykład: na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce?

$$P_5 = 5! = 120$$

Przykład z pułapką: na ile sposobów może się ustawić w kolejce 4 dziewczyny i 3 chłopaków, jeśli dziewczyny mają stać obok siebie?

Potraktuj blok "4 dziewczyny" jako jeden element. Masz wtedy 4 elementy (blok + 3 chłopcy) - $4! = 24$ sposoby. Wewnątrz bloku dziewczyny można ustawiać na $4! = 24$ sposobów. Wynik: $24 \cdot 24 = 576$.

Wariacje bez powtórzeń - wybierasz k z n i ustawiasz

Wariacja bez powtórzeń $V_n^k$ - liczba sposobów wybrania $k$ elementów z $n$ i ustawienia ich w kolejności:

$$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$$

Kiedy stosować: wybierasz $k$ z $n$, kolejność ma znaczenie, elementy się nie powtarzają.

Przykład: ile różnych dwuwyrazowych ciągów można utworzyć z 10 elementów?

$$V_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90$$

Przykład z matury: ile jest różnych trzycyfrowych liczb utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 bez powtórzeń?

$$V_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$$

Wariacje z powtórzeniami - wybierasz k z n i ustawiasz, elementy mogą się powtarzać

Wariacja z powtórzeniami $W_n^k$:

$$W_n^k = n^k$$

Kiedy stosować: wybierasz $k$ z $n$, kolejność ma znaczenie, elementy mogą się powtarzać.

Przykład klasyczny: ile jest 4-cyfrowych kodów PIN?

Każda cyfra niezależnie: $W_{10}^4 = 10^4 = 10000$.

Przykład rozszerzony: ile jest 3-literowych ciągów utworzonych z liter A, B, C, D, E z powtórzeniami?

$W_5^3 = 5^3 = 125$.

Pułapka: zadanie typu "ile jest liczb pięciocyfrowych z cyfr 0-9" - pierwsza cyfra nie może być zerem, reszta dowolne. Wynik: $9 \cdot 10^4 = 90000$, bo pierwsza cyfra to wybór z 9, pozostałe z 10.

Kombinacje - wybierasz k z n bez względu na kolejność

Kombinacja $C_n^k$ (inaczej symbol Newtona) - liczba sposobów wybrania $k$ elementów z $n$, gdy kolejność nie ma znaczenia:

$$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

Kiedy stosować: wybierasz $k$ z $n$, kolejność NIE ma znaczenia.

Przykład: na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację spośród 10 uczniów?

$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120$$

Własność symetrii: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. Na przykład $\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = 120$. Zawsze wybieraj mniejszą wartość $k$, żeby szybciej liczyć.

Kilka wartości do zapamiętania:

Dla $n \le 6$ warto znać trójkąt Pascala na pamięć - przyspiesza obliczenia. Szczegóły w naszym artykule o symbolu Newtona.

Reguła mnożenia - fundament wszystkich wzorów

Zasada mnożenia: jeśli czynność można wykonać w $k$ etapach, a każdy etap można wykonać odpowiednio w $n_1, n_2, \ldots, n_k$ sposobów, to całość można wykonać w:

$$N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$

Przykład: szafka ma 3 zamki, każdy ma 4-cyfrowy kod. Ile jest możliwych kombinacji?

$$N = 10^4 \cdot 10^4 \cdot 10^4 = 10^{12}$$

Zasada mnożenia działa zawsze - wszystkie wzory wariacji i permutacji są z niej wyprowadzone. Jeśli utkniesz, wracaj do zasady mnożenia i buduj wzór od zera.

Reguła decyzyjna - który wzór wybrać

Na maturze zadaj sobie po kolei dwa pytania:

1. Czy wybieram wszystkie $n$, czy tylko $k$ z $n$?

2. Czy kolejność ma znaczenie?

I to wszystko. Przepisz na kartkę, powieś nad biurkiem, czytaj przed maturą.

Zadanie 1 - klasyczna matura (poziom podstawowy)

Ile jest różnych czterocyfrowych liczb, w których wszystkie cyfry są różne?

Pierwsza cyfra - z zakresu 1-9, więc 9 możliwości. Pozostałe trzy - bez powtórzeń z 9 pozostałych cyfr (łącznie z zerem, bez tej, którą już wybrałeś): $9 \cdot 8 \cdot 7$.

Wynik: $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$.

Zadanie 2 - losowanie bez zwracania

Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Ile jest możliwych układów?

Kolejność nie ma znaczenia (po rozdaniu masz po prostu 5 kart w ręku). Wybieramy 5 z 52 bez powtórzeń:

$$\binom{52}{5} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5!} = \frac{311875200}{120} = 2598960$$

Zadanie 3 - permutacja z blokiem

Na ile sposobów można posadzić 6 osób przy okrągłym stole tak, żeby dwie konkretne osoby siedziały obok siebie?

Okrągły stół: jedną pozycję ustalamy (żeby nie liczyć tego samego układu wiele razy). Potem ustawiamy 5 pozostałych: $5! = 120$. Dwóch konkretnych zliczymy jako blok, co daje $4! = 24$ ustawień na okręgu, a w bloku $2! = 2$ sposoby ułożenia - razem $24 \cdot 2 = 48$.

Zadanie okrągłe to osobny typ - jeśli nie wystąpi, nie musisz się martwić.

Zadanie 4 - wariacja z powtórzeniami

Z liter słowa MATURA tworzymy 3-literowe ciągi, gdzie litery mogą się powtarzać. Ile jest możliwych?

Słowo MATURA ma 5 różnych liter (M, A, T, U, R - litera A powtarza się, ale to jedna litera w zbiorze). $W_5^3 = 5^3 = 125$.

Pułapka: słowo MATURA ma 6 liter, ale w zbiorze unikalnych liter jest 5. Kombinatoryka operuje na zbiorach, więc A jest jedno.

Zadanie 5 - zadanie z treścią (kombinacje + reguła mnożenia)

W klasie jest 15 dziewcząt i 12 chłopaków. Ile jest sposobów wyboru 3-osobowej delegacji, w której jest dokładnie 1 chłopak?

Wybieramy 1 chłopaka z 12: $\binom{12}{1} = 12$.

Wybieramy 2 dziewczyny z 15: $\binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105$.

Obie czynności niezależne → zasada mnożenia: $12 \cdot 105 = 1260$.

Zadanie 6 - kolorowanie (klasyka)

Chorągiewka ma 3 pasy w różnych kolorach. Mamy do dyspozycji 6 kolorów. Ile jest różnych chorągiewek (każdy pas inny kolor, pasy rozróżnialne)?

Kolejność pasów ma znaczenie (bo pasy rozróżniamy), powtórzeń nie ma. Wariacja bez powtórzeń:

$$V_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$$

Gdyby pasy mogły mieć ten sam kolor: $W_6^3 = 6^3 = 216$. Gdyby pasy były nierozróżnialne (bo np. trójkątna flaga z trzech kolorów, ale nie wiesz który jest który) - kombinacje: $\binom{6}{3} = 20$.

Typowe pułapki maturalne

1. "Kolejność ma znaczenie" bywa ukryte. W zadaniach typu "losujemy numery z 40" (jak w lotto) kolejność nie ma znaczenia - liczby są zrównoważone przez loterię. Gdy wybieramy prezydenta, wiceprezydenta i sekretarza - kolejność ma znaczenie, bo to różne stanowiska.

2. "Bez powtórzeń" bywa dorozumiane. Gdy wyciągasz kulki z urny bez zwracania - bez powtórzeń. Gdy rzucasz kostką kilka razy - z powtórzeniami.

3. Silnia $0! = 1$. To często błąd typu "nie pamiętam, więc nie liczę". $0!$ wynosi 1 i tyle.

4. Mieszanie wzorów. Zapisz sobie po lewej pytanie "kolejność?", po prawej "z/bez powtórzeń?" i wybieraj mechanicznie.

5. Dwukrotne liczenie. Jeśli zadanie dzielisz na etapy (zasada mnożenia), upewnij się, że etapy są niezależne. Jeśli zależne - musisz inaczej podejść.

Checklista - co musisz umieć

Gdy chcesz więcej przykładów, przejdź do pełnego przewodnika po kombinatoryce albo poćwicz zadania z kombinatoryki. Sprawdź też jak obliczyć prawdopodobieństwo - kombinatoryka jest tam fundamentem. Powodzenia!