Punkt procentowy a procent - jaka jest różnica i jak liczyć na maturze

Punkt procentowy to jednostka różnicy między dwiema wielkościami wyrażonymi w procentach, a procent to zmiana względna, liczona wobec wartości początkowej. Gdy prowizja banku spada z $4\%$ do $3\%$, spada o $1$ punkt procentowy, ale o $25\%$, bo $\frac{1}{4} = 25\%$. Różnicę dwóch procentów podajesz w punktach procentowych (odejmujesz liczby stojące przed znakiem $\%$), a odpowiedź na pytanie „o ile procent" liczysz jako iloraz tej różnicy i wartości wyjściowej.

To rozróżnienie jest częścią obliczeń procentowych i na maturze podstawowej pojawiło się wprost: zadanie 3 z matury maj 2019 pytało, o ile procent zmniejszyła się prowizja obniżona o $1$ punkt procentowy, a cała trudność tego zadania siedzi w odróżnieniu tych dwóch pojęć. Ten sam mechanizm „względem czego liczysz" stoi za każdym zadaniem z działu procenty: podwyżką, obniżką i zmianą procentową, które rozpisujemy w poście o obliczaniu procentu z liczby i zmiany procentowej. Poniżej masz definicje, wzory przeliczania w obie strony, sześć rozwiązanych zadań i pułapki, na których to zadanie się gubi.

Co to jest procent, a co to jest punkt procentowy

Procent to setna część pewnej całości i zawsze odnosi się do czegoś: $20\%$ ceny, $4\%$ kapitału, $60\%$ uprawnionych. Punkt procentowy to jednostka, w której wyrażasz różnicę dwóch wielkości podanych w procentach. Jeśli podatek wzrósł z $20\%$ do $23\%$, to wzrósł o $3$ punkty procentowe, bo $23 - 20 = 3$. Skrót to p.p. albo pkt proc.

Ten sam wzrost możesz opisać w procentach, ale wtedy pytasz o zmianę względną: o ile procent wzrosła stawka $20\%$, skoro wynosi teraz $23\%$? Liczysz $\frac{23 - 20}{20} = \frac{3}{20} = 0{,}15$, czyli o $15\%$. Obie odpowiedzi są poprawne, ale opisują dwie różne rzeczy: punkty procentowe mówią, o ile przesunęła się liczba, a procenty mówią, jaką część starej wartości stanowi to przesunięcie.

Skąd bierze się zamieszanie

Zamieszanie bierze się stąd, że oba opisy zaczynają się od tych samych słów „wzrosło o". Gdy wielkość wyjściowa jest ceną albo liczbą sztuk, „wzrosło o $2\%$" ma jedno znaczenie. Gdy wielkość wyjściowa sama jest procentem, „wzrosło o $2\%$" i „wzrosło o $2$ punkty procentowe" to dwa różne wyniki: pierwszy oznacza $2\%$ ze starej wartości, drugi oznacza dodanie dwójki do liczby przed znakiem procentu.

Zobacz to na oprocentowaniu $4\%$. Wzrost o $2$ punkty procentowe daje $6\%$. Wzrost o $2\%$ daje $4\% \cdot 1{,}02 = 4{,}08\%$, czyli o $0{,}08$ punktu procentowego więcej niż na starcie. Różnica między tymi dwiema interpretacjami jest ogromna i dokładnie na niej opierają się zadania maturalne z tym pojęciem.

W mediach i w komunikatach banków różnice stóp procentowych, bezrobocia, frekwencji i poparcia podaje się w punktach procentowych, bo tylko wtedy wiadomo, o ile zmieniła się sama liczba. Gdy zadanie mówi „o $1$ punkt procentowy", masz gotową różnicę. Gdy pyta „o ile procent", masz do zrobienia dzielenie.

Jak przeliczyć punkty procentowe na procenty i odwrotnie

Z punktów procentowych na procenty przechodzisz jednym dzieleniem: zmianę w punktach procentowych dzielisz przez wartość początkową i mnożysz przez $100\%$. Z procentów na punkty procentowe przechodzisz jednym mnożeniem: wartość początkową mnożysz przez $1 + \frac{k}{100}$, dostajesz nową wartość, a różnica nowej i starej to zmiana w punktach procentowych.

Kilka gotowych przeliczeń, które warto mieć w głowie:

Zwróć uwagę na pierwszy i ostatni wiersz: te same $2$ punkty procentowe raz oznaczają wzrost o połowę, a raz podwojenie. Punkty procentowe nie mówią nic o skali zmiany bez znajomości punktu wyjścia. Dokładnie tak samo działa błąd względny: ta sama różnica bezwzględna jest duża albo mała w zależności od tego, do czego ją odnosisz.

Wzory

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Najczęstsze pytania