Na płaszczyźnie dane są cztery proste: \(k\), \(l\), \(m\) oraz \(n\). Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe. Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(A\) oraz \(C\). Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(D\) oraz \(B\). Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|OA|=12\), \(|OB|=6\) oraz \(|OC|=8\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek \(OD\) ma długość

Sprawna Matura

Punkty

A

D

leżą na prostej

k

, punkty

B

C

leżą na prostej

l

k\parallel l

. Odcinki

AC

BD

przecinają się w

O

Trójkąty

OAD

OCB

są podobne (kąty wierzchołkowe przy

O

są równe;

AD\parallel BC

, bo leżą na prostych równoległych

k

l

, co daje równość kątów naprzemianległych).

Z podobieństwa wynika proporcja boków odpowiadających:

\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}

\frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}

|OD|=\frac{12\cdot 6}{8}=9

Odpowiedź: B.

Rozwiązanie

Punkty

A

D

leżą na prostej

k

, punkty

B

C

leżą na prostej

l

k\parallel l

. Odcinki

AC

BD

przecinają się w

O

Trójkąty

OAD

OCB

są podobne (kąty wierzchołkowe przy

O

są równe;

AD\parallel BC

, bo leżą na prostych równoległych

k

l

, co daje równość kątów naprzemianległych).

Z podobieństwa wynika proporcja boków odpowiadających:

\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}

\frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}

|OD|=\frac{12\cdot 6}{8}=9

Odpowiedź: B.