Trapez prostokątny - wysokość, ramię skośne, kąt ostry i przekątne (zadania maturalne)

Trapez prostokątny to trapez, w którym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, więc to ramię jest jednocześnie wysokością. Zadania z nim rozwiązujesz jednym ruchem: z końca krótszej podstawy opuszczasz drugą wysokość i dostajesz prostokąt oraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $h$ i $a - b$. Z tego trójkąta wynika ramię skośne $c = \sqrt{h^2 + (a - b)^2}$ i tangens kąta ostrego $\mathrm{tg}\,\beta = \frac{h}{a - b}$, a przekątne liczysz z twierdzenia Pitagorasa: $\sqrt{b^2 + h^2}$ i $\sqrt{a^2 + h^2}$.

Na maturze trapez prostokątny pojawia się w zadaniach zamkniętych i otwartych. W maju 2018 (zadanie 17) trzeba było wyrazić długość ramienia przez podstawy przy kącie $60^\circ$, w czerwcu 2024 (zadanie 26) wskazać miarę kąta ostrego przy danych podstawach i wysokości, a w próbnej maturze CKE z grudnia 2024 (zadanie 24) obliczyć pole trapezu, w którym krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Wzory na pole każdego rodzaju trapezu zebrane są we wpisie jak obliczyć pole trapezu. Tutaj jest jedna figura i wszystko, o co pytają przy niej arkusze.

Oznaczenia i jeden rysunek pomocniczy

W całym wpisie trapez to $ABCD$ z podstawami $AB = a$ (dłuższa) i $CD = b$ (krótsza). Kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są proste, więc ramię $AD = h$ jest wysokością. Drugie ramię $BC = c$ jest skośne, a kąt ostry trapezu to $\beta = \angle ABC$. Kąt przy $C$ jest rozwarty i ma miarę $180^\circ - \beta$, bo kąty przy jednym ramieniu trapezu sumują się do $180^\circ$.

Rysunek pomocniczy jest zawsze ten sam: z wierzchołka $C$ opuść wysokość $CE$ na podstawę $AB$. Czworokąt $AECD$ jest prostokątem, więc $|AE| = b$ i $|CE| = h$. Zostaje trójkąt prostokątny $EBC$ o przyprostokątnych $|CE| = h$ i $|EB| = a - b$ oraz przeciwprostokątnej $c$. Prawie każde zadanie o trapezie prostokątnym sprowadza się do tego trójkąta.

Jak policzyć ramię skośne i kąt ostry

Ramię skośne liczysz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $EBC$, a kąt ostry z funkcji trygonometrycznych tego samego trójkąta. Przy kącie $\beta$ przyprostokątna przyległa to $a - b$, a przeciwległa to $h$. Gdy znasz dwie z trzech wielkości $h$, $a - b$, $c$ albo jedną z nich i kąt, trzecią wyliczysz od razu.

Często dany jest kąt $30^\circ$, $45^\circ$ albo $60^\circ$, a wtedy trójkąt $EBC$ jest połówką trójkąta równobocznego albo połówką kwadratu. Zależności między bokami takich trójkątów masz we wpisie o trójkątach 30-60-90 i 45-45-90. Przy innym kącie korzystasz z tangensa, sinusa albo cosinusa i z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

Jak policzyć przekątne

Każda przekątna trapezu prostokątnego jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość $h$. Krótsza przekątna $AC$ leży w trójkącie $ACD$ z kątem prostym przy $D$, a dłuższa $BD$ w trójkącie $ABD$ z kątem prostym przy $A$. Stąd $|AC|^2 = b^2 + h^2$ i $|BD|^2 = a^2 + h^2$.

Osobny przypadek to trapez, w którym krótsza przekątna jest prostopadła do ramienia skośnego. Trójkąty $ACD$ i $BCA$ są wtedy prostokątne, pierwszy przy $D$, drugi przy $C$, i mają równe kąty $\angle DCA = \angle CAB$, bo to kąty naprzemianległe przy równoległych podstawach. Są więc podobne, a z proporcji $\frac{|CD|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|AB|}$ wynika $|AC|^2 = a \cdot b$. Więcej o podobieństwie przeczytasz we wpisie o trójkątach podobnych.

Pole trapezu przy danych podstawach i wysokości policzysz też w kalkulatorze:

Wzory

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z trapezem prostokątnym z arkuszy maturalnych: zamknięte z kątem ostrym i otwarte z przekątnymi. Wszystkie zadania z geometrii płaskiej znajdziesz na stronie planimetria, a trapez równoramienny omawia wpis o trapezie równoramiennym. Gdy zadanie pyta o stosunek odcinków przekątnych albo o pola trójkątów, przyda się wpis o przekątnych trapezu i trójkątach podobnych.

• Matura maj 20181 pkt
  Dany jest trapez prostokątny $KLMN$, którego podstawy mają długości $|KL| = a$, $|MN| = b$, $a\gt b$. Kąt $KLM$ ma miarę $60^\circ$. Długość ramienia $LM$ tego trapezu jest równa
• Matura cze 20241 pktTrygonometria
  Podstawy trapezu prostokątnego $A B C D$ mają długości: $|A B|=8$ oraz $|C D|=5$. Wysokość $A D$ tego trapezu ma długość $\sqrt{3}$ (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa
• Matura maj 20102 pkt
  W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa $6$. Oblicz obwód tego trapezu.
• Matura prób. mar 2012 (2)1 pkt
  Rysunek przedstawia trapez prostokątny i długości trzech jego boków. Obwód tego trapezu jest równy
• Matura prób. sty 20141 pkt
  W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę $60^\circ$, a podstawy mają długość $6$ i $9$. Wysokość tego trapezu jest równa
• CKE 2015-2023 PP5 pkt
  Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ taki, że kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są proste oraz $|AB|=10$, $|DC|=6$, a przekątna $AC$ jest dwa razy dłuższa od ramienia $DA$. Na podstawie $AB$ obrano taki punkt $X$, że $|CX|=|CB|$ (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta $XCB$.

Następny krok Losuj kolejne zadanie z planimetrii

Najczęstsze pytania