W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek). Oblicz pole trapezu ABCD. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 22,14
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że trójkąty ACD i ABC są podobne. Skąd to wiemy? Widzimy, że obydwa trójkąty mają kąt prosty. W dodatku kąty ACD i CAB to są naprzemianległe, więc mają one jednakową miarę np. α. Tym samym i trzecie kąty w tych trójkątach będą miały tą samą miarę, czyli wynika to wprost z cechy kąt-kąt-kąt.
Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Możemy od razu obliczyć skalę podobieństwa naszych trójkątów. Jeśli przyjmiemy, że duży trójkąt ABC jest trójkątem podstawowym, a trójkąt ACD jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
k=6/7,5 k=0,8
Krok 3. Obliczenie długości boku BC.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC, możemy zapisać, że:
|BC|²+6²=7,5² |BC|²+36=56,25 |BC|²+=20,25 |BC|=4,5 |BC|=-4,5
Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam |BC|=4,5.
Krok 4. Obliczenie długości AD oraz DC.
Skoro skala podobieństwa naszych trójkątów wynosi k=0,8 i znamy wszystkie długości trójkąta ABC, to tym samym możemy obliczyć długości przyprostokątnych w trójkącie ACD, które są górną podstawą oraz wysokością naszej figury. Trzeba tylko uważać, by do obliczeń brać odpowiednie długości boków, które są bokami odpowiadającymi w danych figurach:
|AD|=k · |BC| |AD|=0,8 · 4,5 |AD|=3,6
|DC|=k · |AC| |DC|=0,8 · 6 |DC|=4,8
Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już wszystkie potrzebne długości do obliczenia pola trapezu, zatem:
P=1/2(a+b) · h P=1/2(7,5+4,8) · 3,6 P=1/2 · 12,3 · 3,6 P=22,14
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.