Objętość stożka o wysokości 2 jest równa 8 π. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 120°
Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy.
Znamy wysokość naszej bryły, wiemy też jest jaka jest jej objętość, a to pozwoli nam obliczyć pole podstawy:
V=1/3 P_p · H 8π=1/3 P_p · 2 4π=1/3 P_p P_p=12π
W podstawie stożka mamy koło, którego pole wyrażamy wzorem P=πr². Skoro tak, to możemy bez problemu obliczyć promień podstawy naszego stożka:
πr²=12π r²=12 r=√(12) r=-√(12)
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ promień musi być liczbą dodatnią, zatem zostaje nam r=√(12), co możemy jeszcze rozpisać jako r=√(4 · 3)=2√(3).
Krok 2. Obliczenie kąta rozwarcia stożka.
W przekroju osiowym stożka wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwie równe części i tworzy trójkąt prostokątny. Jedną przyprostokątną tego trójkąta jest wysokość stożka o długości 2, drugą przyprostokątną jest promień podstawy o długości 2√(3), a przeciwprostokątną jest tworząca stożka. Kąt α przy wierzchołku stożka leży naprzeciwko promienia podstawy i jest połową kąta rozwarcia.
Druga przyprostokątna jest √(3) razy dłuższa od pierwszej, a to jest charakterystyczna cecha trójkątów o kątach 30°, 60°, 90°. Ten sam wniosek daje tangens, bo tgα=2√(3)/2=√(3), a taką wartość tangensa ma kąt 60°.
Kąt α ma więc miarę 60°. Kąt rozwarcia stożka będzie kątem dwa razy większym, czyli tym samym będzie miał on miarę 120°.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.