W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,-9). a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f jest malejąca w przedziale A. (-∞, 0] B. (-∞, 3] C. [0,+∞) D. [3,+∞) b) Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Wzór funkcji f zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: .......... oraz .......... . A. f(x)=-x²-9 B. f(x)=-(x-3)² C. f(x)=-(x+3)² D. f(x)=-x²+6x-9 E. f(x)=-x²-6x+9 F. f(x)=-x²-6x-9 c) Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x)-1. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja g ma jedno miejsce zerowe. P F W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x=3. P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) D b) BD c) FP
a)
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3,0), a sam wykres przechodzi przez punkt (0,-9), który leży poniżej osi Ox. Skoro pewien punkt paraboli leży niżej niż jej wierzchołek, to wierzchołek jest punktem położonym najwyżej, czyli ramiona paraboli są skierowane do dołu.
Parabola o ramionach skierowanych do dołu rośnie na lewo od wierzchołka i maleje na prawo od niego. Pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa 3, zatem funkcja f maleje od wierzchołka aż do nieskończoności, czyli jest malejąca w przedziale x ∈ ⟨3, +∞).
b)
Skoro znamy współrzędne wierzchołka paraboli, to w prosty sposób możemy zapisać naszą funkcję w postaci kanonicznej typu y=a(x-p)²+q. Skoro nasza funkcja ma wierzchołek w punkcie W=(3;0), to wzór tej funkcji moglibyśmy zapisać jako:
y=a(x-3)²+0 y=a(x-3)²
Do ustalenia jest jeszcze tylko współczynnik kierunkowy a. Na pewno będzie on ujemny, bo ramiona paraboli są skierowane do dołu, więc już po samych odpowiedziach spodziewamy się, że tutaj po prostu a=-1. Możemy jednak samodzielnie wyliczyć ten współczynnik, podstawiając do wzoru y=a(x-3)² współrzędne punktu (0, -9), zatem:
-9=a · (0-3)² -9=a · (-3)² -9=a · 9 a=-1
Tym samym pierwszym poszukiwanym wzorem będzie na pewno f(x)=-(x-3)².
Teraz musimy poznać drugi sposób zapisu wzoru tej funkcji i po odpowiedziach widzimy, że będzie to zapis w postaci ogólnej. Wystarczy więc wymnożyć to, co otrzymaliśmy w postaci kanonicznej, pamiętając o wzorach skróconego mnożenia i uważając na minus stojący z przodu:
f(x)=-(x-3)² f(x)=-(x²-6x+9) f(x)=-x²+6x-9
c)
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Funkcja g powstała w wyniku przesunięcia funkcji f o jedną jednostkę w dół. Takie przesunięcie sprawia, że cała parabola znajdzie się pod osią iksów, czyli nie będziemy mieć tutaj miejsc zerowych. To zdanie jest więc fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Oś symetrii paraboli przechodzi zawsze przez wierzchołek paraboli. Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w dół nie zmienia faktu, że oś symetrii będzie wyrażać się równaniem x=3, więc to zdanie jest prawdą.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.