Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi A B, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D=(0,3)x=24/13
Krok 1. Zapisanie równań.
Przyjmijmy, że |AB|=x, a tym samym |AE|=3x. Dodatkowo oznaczmy trzecią krawędź |AD|=y. Z treści zadania wynika, że suma wszystkich długości krawędzi jest równa 48, zatem:
4 · x+4 · y+4 · 3x=48 4x+4y+12x=48 4y+16x=48 4y=48-16x y=12-4x
Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
P=2 · (x · y+x · 3x+y · 3x) P=2 · (xy+3x²+3xy) P=2 · (3x²+4xy) P=6x²+8xy
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji P(x).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną x. Aby tego dokonać, podstawmy wartość y z równania y=12-4x do równania P=6x²+8xy, zatem:
P=6x²+8x · (12-4x) P=6x²+96x-32x² P=-26x²+96x
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem -26x²+96x. Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości x otrzymamy konkretną wartość P). Tym samym moglibyśmy zapisać, że P(x)=-26x²+96x.
Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
x > 0 3x > 0 12-4x > 0 x > 0 x > 0 -4x > -12 x > 0 x > 0 x < 3
Zwróć uwagę, że przy nierówności -4x > -12 kiedy dzieliliśmy obydwie strony przez -4, trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny. Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz x musi być większy od zera i mniejszy od 3, zatem dziedziną tej funkcji będzie x ∈ (0,3).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik a=-26). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy y, tylko pole P):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego x to pole P będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości x ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną x_W wierzchołka paraboli:
x_W=-b/(2a) x_W=-96/(2 · (-26)) x_W=-96/-52 x_W=24/13
Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy x=24/13.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.