Dany jest trapez prostokątny ABCD taki, że kąty przy wierzchołkach A i D są proste oraz |AB|=10, |DC|=6, a przekątna AC jest dwa razy dłuższa od ramienia DA. Na podstawie AB obrano taki punkt X, że |CX|=|CB| (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta XCB.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 4√(3)/7
Oznaczymy |DA| = h, gdzie h > 0.
## Krok 1: Znajdźmy wysokość trapezu
Umieszczamy trapez w układzie współrzędnych: - A = (0, 0) - B = (10, 0) - D = (0, h) - C = (6, h)
Z warunku |AC| = 2|DA| mamy:
|AC| = 2h
Obliczamy długość przekątnej AC:
|AC| = √(6² + h²) = √(36 + h²)
Zatem:
√(36 + h²) = 2h
Podnosząc do kwadratu:
36 + h² = 4h²
36 = 3h²
h² = 12
h = 2√(3)
## Krok 2: Obliczmy długość |CB|
|CB| = √((10-6)² + (0-h)²) = √(16 + h²) = √(16 + 12) = √(28) = 2√(7)
## Krok 3: Znajdźmy współrzędne punktu X
Punkt X leży na podstawie AB, więc X = (x, 0) dla pewnego x ∈ [0, 10].
Z warunku |CX| = |CB| = 2√(7):
|CX| = √((x-6)² + h²) = 2√(7)
(x-6)² + 12 = 28
(x-6)² = 16
x - 6 = ± 4
Otrzymujemy x = 10 lub x = 2.
Ponieważ x = 10 daje punkt B, a potrzebujemy innego punktu, więc X = (2, 0).
## Krok 4: Obliczmy sinus kąta XCB
Mamy: - C = (6, 2√(3)) - X = (2, 0) - B = (10, 0)
Obliczamy wektory:
CX = (2-6, 0-2√(3)) = (-4, -2√(3))
CB = (10-6, 0-2√(3)) = (4, -2√(3))
Iloczyn skalarny:
CX · CB = (-4)(4) + (-2√(3))(-2√(3)) = -16 + 12 = -4
Długości:
|CX| = √(16 + 12) = 2√(7)
|CB| = 2√(7)
Kosinus kąta:
cos(∠XCB) = -4/(2√(7) · 2√(7)) = -4/28 = -1/7
Sinus kąta (kąt jest rozwarty):
sin(∠XCB) = √(1 - cos²(∠XCB)) = √(1 - 1/49) = √(48/49) = √(48)/7 = 4√(3)/7
Odpowiedź: sin(∠XCB) = 4√(3)/7
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.