W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę 60° , a podstawy mają długość 6 i 9. Wysokość tego trapezu jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.6
- B.2√(3)
- C.3√(3)
- D.3√(3)/2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-15.png]
Oznaczmy trapez prostokątny ABCD, gdzie: - AB i CD to podstawy (AB = 6, CD = 9) - Kąty przy podstawie AD są proste (90°) - Kąt przy podstawie BC wynosi 60°
Krok 2: Szkic sytuacji
W trapezie prostokątnym dwa kąty są proste. Przyjmijmy, że: - Podstawa dolna CD = 9 - Podstawa górna AB = 6 - Boki AD i BC nie są równoległe - Kąty przy wierzchołkach A i D są proste - Kąt przy wierzchołku C wynosi 60°
Krok 3: Opuszczenie pomocniczej wysokości
Z punktu B opuszczamy wysokość na podstawę CD. Niech ta wysokość ma długość h.
Ponieważ ABCD jest trapezem prostokątnym z kątami prostymi przy A i D, to: - AD ⊥ CD i AD ⊥ AB - Wysokość trapezu to właśnie h = AD
Krok 4: Analiza trójkąta pomocniczego
Przeciągając bok AB do punktu na podstawie CD, otrzymujemy prostokąt i trójkąt prostokątny.
Różnica podstaw: 9 - 6 = 3
Ta różnica tworzy przyprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym: - Kąt przy podstawie wynosi 60° - Jedna przyprostokątna (przy kącie prostym) = 3 - Druga przyprostokątna to wysokość h
Krok 5: Wykorzystanie trygonometrii
W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku C: - Kąt przy C = 60° - Przyprostokątna pozioma = 3 - Przyprostokątna pionowa = h
Mamy: tan(60°) = h/3
Krok 6: Obliczenie wysokości
tan(60°) = √(3)
Zatem: √(3) = h/3
h = 3√(3)
Odpowiedź: C
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.