Pewien kierowca, jadąc z miasta A do miasta B , zmierzył czas i prędkość jazdy. Drogę powrotną pokonał z prędkością o 12 km/h większą, w czasie o 12 minut krótszym. Z jaką średnią prędkością wracał kierowca do miasta A , jeżeli wiadomo, że miasta te są oddalone od siebie o 117 km?
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: v=90 km/h
Oznaczmy prędkość jazdy z miasta A do miasta B jako v km/h.
Dane: - Odległość między miastami: s = 117 km - Prędkość w drodze powrotnej: v + 12 km/h - Czas powrotny krótszy o 12 minut = 12/60 = 1/5 godziny
Krok 1: Zapisujemy czasy przejazdu
Czas jazdy z A do B: t₁ = 117/v
Czas jazdy z B do A: t₂ = 117/(v+12)
Krok 2: Zapisujemy warunek zadania
Droga powrotna trwała o 1/5 godziny krócej: t₁ - t₂ = 1/5
Podstawiamy wyrażenia na czasy: 117/v - 117/(v+12) = 1/5
Krok 3: Rozwiązujemy równanie
Mnożymy obie strony przez 5v(v+12) : 5 · 117(v+12) - 5 · 117v = v(v+12)
585(v+12) - 585v = v² + 12v
585v + 7020 - 585v = v² + 12v
7020 = v² + 12v
v² + 12v - 7020 = 0
Krok 4: Rozwiązujemy równanie kwadratowe
Stosujemy wzór: v = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)
Δ= 144 + 4 · 7020 = 144 + 28080 = 28224
√(Δ) = √(28224) = 168
v = (-12 ± 168)/2
Otrzymujemy dwa rozwiązania: - v = (-12 + 168)/2 = 156/2 = 78 km/h - v = (-12 - 168)/2 = -90 (odrzucamy, bo prędkość musi być dodatnia)
Krok 5: Obliczamy prędkość powrotną
Prędkość w drodze powrotnej (z B do A): v_(powrót) = v + 12 = 78 + 12 = 90 km/h
Sprawdzenie: - Czas z A do B: 117/78 = 1,5 h = 90 minut - Czas z B do A: 117/90 = 1,3 h = 78 minut - Różnica: 90 - 78 = 12 minut ✓
Odpowiedź: Kierowca wracał do miasta A z prędkością 90 km/h
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.