Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKE## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-25.png]
Oznaczmy trójkąt prostokątny jako ABC , gdzie kąt przy wierzchołku C jest prosty, a długości boków to: - a — długość przyprostokątnej BC - b — długość przyprostokątnej AC - c — długość przeciwprostokątnej AB
## Krok 2: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
a² + b² = c²
## Krok 3: Wyznaczenie pól trójkątów równobocznych
Przypomnijmy wzór na pole trójkąta równobocznego o boku s :
P = s²√(3)/4
Zatem pola trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach naszego trójkąta prostokątnego wynoszą:
- Pole trójkąta na przyprostokątnej a : P_a = a²√(3)/4
- Pole trójkąta na przyprostokątnej b : P_b = b²√(3)/4
- Pole trójkąta na przeciwprostokątnej c : P_c = c²√(3)/4
## Krok 4: Obliczenie sumy pól figur na przyprostokątnych
P_a + P_b = a²√(3)/4 + b²√(3)/4 = √(3)/4(a² + b²)
## Krok 5: Podstawienie twierdzenia Pitagorasa
Ponieważ a² + b² = c² , otrzymujemy:
P_a + P_b = √(3)/4 · c² = c²√(3)/4 = P_c
## Wniosek
Udowodniliśmy, że:
P_c = P_a + P_b
czyli pole trójkąta równobocznego zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól trójkątów równobocznych zbudowanych na przyprostokątnych.
Dowód bazuje na twierdzeniu Pitagorasa i fakcie, że pola figur podobnych są proporcjonalne do kwadratów odpowiadających im boków.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.