Najmniejszą liczbą naturalną, która nie spełnia nierówności x²-7x-5 < 0 jest:
Odpowiedzi do wyboru
- A.0
- B.3
- C.7
- D.8
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Szukamy najmniejszej liczby naturalnej, która nie spełnia nierówności x² - 7x - 5 < 0.
Krok 1: Znajdujemy miejsca zerowe funkcji f(x) = x² - 7x - 5
Oblicza się wyróżnik: Δ= (-7)² - 4 · 1 · (-5) = 49 + 20 = 69
Miejsca zerowe: x = (7 ± √(69))/2
Krok 2: Szacujemy wartości pierwiastków
Oblicza się przybliżone wartości √(69): - 8² = 64 - 9² = 81
Więc 8 < √(69) < 9. Dokładniej √(69) ≈ 8,3
Zatem: x₁ = (7 - √(69))/2 ≈ (7 - 8,3)/2 ≈ -1,3/2 ≈ -0,65
x₂ = (7 + √(69))/2 ≈ (7 + 8,3)/2 ≈ 15,3/2 ≈ 7,65
Krok 3: Rozwiązujemy nierówność x² - 7x - 5 < 0
Parabola o współczynniku a = 1 > 0 jest ujemna między pierwiastkami: x ∈ ((7 - √(69))/2, (7 + √(69))/2) ≈ (-0,65; 7,65)
Krok 4: Znajdujemy najmniejszą liczbę naturalną niespełniającą nierówności
Nierówność spełniają liczby z przedziału (-0,65; 7,65).
Liczby naturalne w tym przedziale to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Sprawdza się czy 7 spełnia nierówność: 7² - 7 · 7 - 5 = 49 - 49 - 5 = -5 < 0 ✓
Sprawdza się czy 8 spełnia nierówność: 8² - 7 · 8 - 5 = 64 - 56 - 5 = 3 > 0 ✗
Liczba 8 nie spełnia nierówności (bo 3 < 0).
Odpowiedź: D
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.