Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność x²-x-12 0 .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ {1,2,3,4} lub ewentualnie x ∈ {0,1,2,3,4} jeżeli 0 uznajemy za liczbę naturalną.
Rozwiązuje się nierówność kwadratową x² - x - 12 ≤ 0.
## Krok 1: Wyznacza się miejsca zerowe funkcji f(x) = x² - x - 12
Rozwiązuje się równanie x² - x - 12 = 0.
Oblicza się wyróżnik: Δ= (-1)² - 4 · 1 · (-12) = 1 + 48 = 49
Miejsca zerowe: x₁ = (1 - √(49))/2 = (1 - 7)/2 = -6/2 = -3
x₂ = (1 + √(49))/2 = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4
## Krok 2: Analizuje się znak funkcji kwadratowej
Współczynnik przy x² wynosi a = 1 > 0, więc parabola jest skierowana ramionami do góry.
Funkcja kwadratowa przyjmuje wartości: - ujemne lub równe zero dla x ∈ [-3, 4] - dodatnie dla x ∈ (-∞, -3) ∪ (4, +∞)
## Krok 3: Rozwiązanie nierówności w liczbach rzeczywistych
Nierówność x² - x - 12 ≤ 0 jest spełniona dla: x ∈ [-3, 4]
## Krok 4: Wybiera się liczby naturalne z przedziału [-3, 4]
Jeśli 0 ∉ N (tradycyjne podejście): x ∈ {1, 2, 3, 4}
Jeśli 0 ∈ N (konwencja współczesna): x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
## Weryfikacja (dla pewności): - x = 1: 1 - 1 - 12 = -12 ≤ 0 ✓ - x = 4: 16 - 4 - 12 = 0 ≤ 0 ✓ - x = 5: 25 - 5 - 12 = 8 > 0 ✗
Odpowiedź: x ∈ {1, 2, 3, 4} lub x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} w zależności od przyjętej konwencji
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.