W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH połączono punkty będące środkami krawędzi BC , CD , AD i GH . Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że DB=5√(2) i kąt DBH ma miarę 60° .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=125√(6)/12
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-30.png]
Oznaczymy podstawę graniastosłupa jako kwadrat ABCD, a górną podstawę jako EFGH, gdzie E leży nad A, F nad B, G nad C, H nad D.
## Krok 2: Wyznaczenie długości krawędzi podstawy
Niech a będzie długością krawędzi podstawy (boku kwadratu).
W kwadracie ABCD przekątna wynosi: |DB| = a√(2)
Z danych: |DB| = 5√(2), więc: a√(2) = 5√(2) a = 5
## Krok 3: Wyznaczenie wysokości graniastosłupa
Niech h będzie wysokością graniastosłupa.
W trójkącie DBH: - |DB| = 5√(2) (przekątna podstawy) - |BH| to odległość od B do H - kąt ∠DBH = 60°
Punkt H leży nad D, więc |DH| = h (wysokość graniastosłupa).
Trójkąt DBH jest prostokątny przy wierzchołku D (gdyż DH ⊥ płaszczyzna podstawy).
Z twierdzenia Pitagorasa: |BH|² = |BD|² + |DH|² = (5√(2))² + h² = 50 + h²
Z tw. cosinusów w trójkącie DBH: |DH|² = |DB|² + |BH|² - 2|DB||BH|cos(60°)
Podstawiając: h² = 50 + (50 + h²) - 2 · 5√(2) · √(50 + h²) · 1/2 0 = 100 - 5√(2) · √(50 + h²) 5√(2) · √(50 + h²) = 100 √(50 + h²) = 100/(5√(2)) = 20/√(2) = 10√(2) 50 + h² = 200 h² = 150 h = 5√(6)
## Krok 4: Identyfikacja bryły
Środki krawędzi: - M — środek BC - N — środek CD - P — środek AD - Q — środek GH
Połączenie tych punktów tworzy ostrosłup czworokątny o podstawie MNPQ (w dolnej podstawie graniastosłupa) i wierzchołku Q (w górnej podstawie).
Podstawa MNP w kwadracie ABCD: - M = (5, 2.5, 0), N = (2.5, 5, 0), P = (0, 2.5, 0) (przyjmując A=(0,0,0)) - To trójkąt o bokach długości 5√(2)/2
Punkt Q jest środkiem GH na wysokości h = 5√(6).
## Krok 5: Obliczenie objętości
Pole podstawy trójkąta równoramiennego prostokątnego MNP: P_(MNP) = 1/2 · 5/2 · 5 = 25/4
Objętość ostrosłupa: V = 1/3 · P_(podstawy) · h = 1/3 · 25/4 · 5√(6) V = 125√(6)/12
Odpowiedź: V = 125√(6)/12
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.