Trójkąty prostokątne ABC i DEF są podobne. Przyprostokątne trójkąta ABC mają długości 5 i 12, a przeciwprostokątna trójkątaDEF ma długość 26. Wyznacz pole trójkąta DEF.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=120
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-28.png]
## Krok 2: Wyznaczenie przeciwprostokątnej trójkąta ABC
Trójkąt ABC ma przyprostokątne długości 5 i 12. Z twierdzenia Pitagorasa:
c_(ABC) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √(169) = 13
## Krok 3: Obliczenie pola trójkąta ABC
Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych:
P_(ABC) = 1/2 · 5 · 12 = 30
## Krok 4: Wyznaczenie skali podobieństwa
Trójkąty ABC i DEF są podobne. Przeciwprostokątna trójkąta DEF ma długość 26.
Skala podobieństwa k to stosunek odpowiadających sobie boków:
k = c_(DEF)/c_(ABC) = 26/13 = 2
## Krok 5: Wykorzystanie własności pól figur podobnych
Jeśli dwie figury są podobne ze skalą k, to stosunek ich pól wynosi k².
Zatem:
P_(DEF)/P_(ABC) = k² = 2² = 4
## Krok 6: Obliczenie pola trójkąta DEF
P_(DEF) = P_(ABC) · 4 = 30 · 4 = 120
Odpowiedź: Pole trójkąta DEF wynosi P = 120
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.